TOÁN THỰC HÀNH CHƯƠNG 2 . 2.2

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.


TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.2

Bài giảng .

2. 2   THỐNG KÊ - STATISTICS ,  HỒI QUY TUYẾN TÍNH - LINEAR  REGRESSION .

         

Chủ đề   

- Tổng thể (Population) , Mẫu (sample) , Dữ liệu (data) .

- Phân phối chuẩn  (normal distribution) .

- Hồi quy tuyến tính (Linear regression) .

Ứng dụng

- Tung súc sắc .

- Nghiên cứu diễn đàn .

- Giá xăng dầu .

- Tuổi lao động .

- Khảo sát chiều cao .

- Tỷ lệ thất nghiệp .

Khái niệm cơ bản  

*  Khái niệm  ( Tổng thể – Mẫu –Dữ liệu  )  .

* Độ đo trung tâm -Measure of centrality ( Trung bình (Mean) –Trung vị (Median) –Mốt (Mode ) )

* Độ đo phân tán -Measure of dispersion ( Phương sai (Variance) –Độ lệch (Deviation) –Độ lệch chuẩn (Standard deviation) )

* Phân phối chuẩn (The normal distribution) - Biến rời rạc và biến liên tục -Discrete and continous variables.

* Hồi quy tuyến tính (Linear Regression) ( Điều hóa tốt nhất (Best fit) –Hệ số tương quan tuyến tính (Coefficient of  linear correlation ) )

1.   TỔNG THỂ - MẪU – DỮ LIỆU .

·      Tập hợp các phần tử được khảo sát gọi là tổng thể . Tập con bất kỳ của tổng thể gọi là mẫu .  Khi khảo sát một tổng thể quá lớn ta không thể thu thập được tất cả các dữ liệu  của mọi phần tử  vì thế ta phải thu thập các dữ liệu của một mẫu nhỏ và dễ quản lí hơn  .

·      Mẫu được xem là mẫu tốt  “good sample” khi nó có thể đại diện cho tổng thể .

·      Khi đã thu thập đầy đủ dữ liệu ta có thể tổng kết bằng cách tính toán những thống kê mô tả khác nhau  .  Dữ liệu mẫu được thu thập và tóm tắt sẽ giúp chúng ta đưa ra kết luận hợp lý về tổng thể . 

Lập bảng phân phối tần số - Constructing  A  Frequency  Distribution 

* Nếu dữ liệu thô có ít giá trị khác nhau ta liệt kê các điểm dữ liệu riêng biệt . Ngược lại , nếu dữ liệu thô gồm nhiều giá trị khác nhau ta tạo các khoảng và làm việc theo dữ liệu nhóm .

* Kiểm đếm số lượng các điểm dữ liệu trong mỗi khoảng thời gian hoặc số lần xuất hiện các dữ liệu cá thể .

* Liệt kê tần số của mỗi khoảng thời gian hoặc mỗi điểm dữ liệu cá thể .

* Tìm tần số tương đối bằng cách chia tần số của của mỗi khoảng thời gian hoặc số lần xuất hiện các dữ liệu cá thể với tổng số các điểm dữ liệu có trong phân phối ( kết quả được ghi là % )   .

 1.1 Dữ liệu riêng biệt - Distinct  Data

Ví dụ   . Tung con súc sắc đồng chất , ta có kết quả các mặt như sau

1 1 2 5 5 6 1 6 5 3        

6 1 1 3 3 6 5 6 6 1

4 1 1 3 1 5 6 6 1 6

2 5 4 5 2 3 2 5 1 5

4 2 6 2 1 3 5 4 3 4

Hãy lập bảng phân phối tần số .

Lời giải  .

Dùng ESBStats , tạo workbook TUNG SUC SAC , nhập các dữ liệu điểm phân biệt 

Click vào Bar Graph xem biểu đồ cột .

Click vào Line Graph xem biểu đồ đường thẳng .

Click vào Descriptive Stats và Main Summary xem các số liệu thống kê mô tả như 

Độ tập trung - Measures of Centrality

  Trung bình -Mean: 3,5000

  Trung vị -Median: 3,5000

  Mốt -Mode: 1,0000

Độ phân tán - Measures of Dispersion

  Độ lệch trung bình -Mean Deviation: 1,7000

  Phương sai -Variance: 3,6020

  Độ lệch chuẩn -Standard Deviation: 1,8979

*************************************************
Xem youtube

Click vào link sau download TUNG SUC SAC 

http://www.adrive.com/public/QYD2zz/TUNG SUC SAC.exe

1.2  Dữ liệu nhóm - Grouped  Data

Ví dụ .   Diễn đàn được mở cửa cho người tham dự có tuổi ít nhất là 16 . Điều tra một mẫu gốm có 42 người với số tuổi như sau

26          16           21          34           18           41             38

48          27           22          30           39           62             25

25          38           29          31           28           20             56

60          24           61          28           32           33             18

23          27           46          30           34           62             49

59          19           20          23           24           45             22

Lập bảng phân phối tần số .

Lời giải .

Dùng ESBStats , tạo workbook TUOI DIEN DAN , nhập các dữ liệu nhóm 

Click vào Standard Histogram xem biểu đồ cột .

Click vào Pie Graph xem biểu đồ quạt .

Click vào Descriptive Stats và Main Summary xem các số liệu thống kê mô tả như 

Độ tập trung - Measures of Centrality

  Trung bình -Mean: 34,0952

  Trung vị -Median: 30,1538

  Mốt -Mode: 26,0000

Độ phân tán - Measures of Dispersion

  Độ lệch trung bình -Mean Deviation: 11,1565

  Phương sai -Variance: 186,7224

  Độ lệch chuẩn -Standard Deviation: 13,6646 

Xem hình 

*************************************************
Xem youtube



Click vào link sau download TUOI DIEN DAN

http://www.adrive.com/public/Zgsnr8/TUOIDIENDAN.exe 

1.3  Trung bình (MEAN)  , Trung vị (MEDIAN) , Mốt (MODE) ( Độ đo trung tâm -Measures of central tendency )

 Trung bình (Mean) 

Ví dụ .  Giá xăng dầu tại các trạm nhiên liệu khác nhau được khảo sát ( $/gallon )  và có số liệu theo bảng sau .  Tìm giá xăng dầu trung bình .

1.399       1.349       1.299       1.429       1.399       1.379      1.259

Ví dụ .   Năm  2001 văn phòng thống kê lao động Hoa Kỳ khảo sát tuổi công nhân . Bảng phân phối tần số như sau .

y   =  tuổi	Số công nhân                 (f)
16  <=  y  <  20	640,000
20  <=  y  <  25	660,000
25  <=  y  <  35	372,000
35  <=  y  <  45	276,000
45  <=  y  <  55	171,000
55  <=  y  <  65	111,000
	n = 2,300,000

Tìm độ tuổi trung bình của công nhân .

Cách tính trung bình  của dữ liệu khoảng

Trung vị -Median   Trung vị là giá trị chính giữa trong bảng phân phối các số liệu  .  Đánh số và xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu , 

+ Nếu số điểm dữ liệu là lẻ thì trung vị là giá trị của điểm dữ liệu nằm chính giữa .

+ Nếu số điểm dữ liệu là chẵn thì trung vị là giá trị trung bình của 2 điểm dữ liệu nằm chính giữa .

Lưu ý : Trung vị chia bảng phân phối thành 2 phần có số dữ liệu điểm bằng nhau .

Ví dụ . Tìm trung vị của các bảng phân phối sau .

a.  2      8      3      12     6     2      11

b.  2      8      3      12     6     2      11      8

Lời giải

  a. Xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu  

2     2     3     6     8    11     12   .  Vì có 7 điểm dữ liệu ( n = 7 , lẻ ) nên trung vị là   6 .

b.   Xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu  

2     2     3     6     8      8     11     12   . Vì có 8 điểm dữ liệu ( n = 8 , chẵn ) nên trung vị là trung bình của  6  và  8   . Vậy trung vị là   ( 6 +8 )/ 2  =  7  . 

Dùng công cụ Meta Calculator trên Blog này tìm trung vị . Ở phần Statistic Calculator , nhập dữ liệu điểm 

Click vào Basic Stats , đọc các mô tả thống kê 

Ta có trung vị (Median ) là   6 . Tương tự cho ví dụ b. 

Click vào Basic Stats , đọc các mô tả thống kê 

Ta có trung vị (Median ) là   7 .  

Mốt -Mode  Mốt  là dữ liệu xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu , có nghĩa là điểm dữ liệu có tần số cao nhất .

Một bảng phân phối dữ liệu có thể có một hay nhiều mốt hoặc không có mốt .

Ví dụ .  Tìm mốt trong bộ dữ liệu sau .

a.  4   10   1   8   5   10   5   10

b.  4   9   1   10   1   10   4   9

c.  9   6   1    8    3   10   3   9

Lời giải .

a. Mốt là  10 , vì tần số xuất hiện nhiều nhất là 3 lần .

b. Không có mốt  , vì tần số xuất hiện của các dữ liệu đều bằng nhau .

c. Mốt là  3 và 9 . Phân phối này được gọi là nhị mốt .

1.2  Độ lệch (DEVIATION) , phương sai (VARIANCE) , Độ lệch chuẩn (STANDARD DEVIATION)

 ( Độ đo phân tán -Measures of dispersion ) 

Một dữ liệu điểm sát với giá trị trung bình sẽ có độ lệch nhỏ và ngược lại .

Ví dụ .  Điểm số của một trò chơi được ghi lại như sau  

135   ,    155  ,   185  ,  185  ,   200 ,  250   .

 Tìm giá trị trung bình , độ lệch của mỗi dữ liệu ( độ lệch thành phần ) và trung bình độ lệch .

Lời giải  

  Ví dụ  .  Chỉ số tham khảo của mặt hàng máy tính bảng như sau .

135   ,    155  ,   185  ,  185  ,   200 ,  250   .

Tìm độ lệch chuẩn .  

Lời giải .

Nhập dữ liệu vào Statistic Calculator tại Máy tính, vẽ đồ thị, ma trận, thống kê trên Blog này 

Click vào Basic Stats , đọc thống kê mô tả .

2.    PHÂN PHỐI THƯỜNG -THE NORMAL DISTRIBUTION 

Phân phối có biểu đồ gần đối xứng , dạng chuông , với đa số điểm dữ liệu ở trung tâm , được gọi là phân phối thường .

Ví dụ . xem biểu đồ phân phối sau , lưu ý đến 3 chỉ số độ đo trung tâm rất gần nhau .

Độ đo trung tâm -Measures of Centrality

  Trung bình -Mean8001: 16.0020

  Trung vị -Median8003: 16.0034

  Mode8004: 16.0100

2.1 Biến rời rạc – biến liên tục  Discrete versus Continous Variables

- Biến gọi là rời rạc nếu có khoảng trống giữa những đữ liệu điểm khác nhau . Ví dụ  tuổi  của trẻ em trong gia đình .

- Biến gọi là liên tục nếu thể giả sử bất kỳ giá trị nào cũng đều có thể thuộc một khoảng dữ liệu được sắp xếp . Ví dụ  chiều cao của học sinh .

Phân phối thường có 2 tính chất chính .

1.   Tần số của các điểm dữ liệu gần trung tâm ( hoặc trung bình ) là cao hơn tần số của các điểm dữ liệu xa trung tâm .

2.   Phân phối có tính đối xứng .

Vì những tính chất này nên trung bình , trung vị và mốt hầu như gần ở trung tâm phân phối .

Ví dụ .  Chiều cao của nhóm người được điều tra giả sử có thể mô tả bởi phân phối thường . Trung bình chiều cao là 66.5 inches , độ lệch chuẩn là 2.4 inches . Tìm và giải thích các khoảng biểu diễn cách đều 1 , 2 và 3 độ lệch chuẩn từ giá trị trung bình . ( xem hình )

 2.2  Xác suất và diện tích -

Tìm xác suất một biến ngẫu nhiên x  trong khoảng từ a đến b  , ta phải xác định diện tích của hình phẳng giới hạn từ a đến b . 

2.3         Phân phối chuẩn -The Standard Normal Distribution

 Phân phối chuẩn là phân phối thường có trung bình bằng 0  và độ lệch chuẩn bằng 1 . Ta còn gọi phân phối chuẩn là phân phối Z . 

Bạn có thể sử dụng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến dưới đây , nhập giá trị trung bình , độ lệch chuẩn , X1 , X2 và click Calculate . Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2) 

NHẬP DỮ LIỆU Ở ĐÂY .
Distribution Calculator


**********************************************************************

b. p( z > 1.87 )  Dùng ESBPDF Analysis

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .
 Đọc kết quả ở phần P(X > X1)

Tương tự cho các ví dụ c. và d. 

 2.4 Đổi sang phân phối Z - Converting to the Z-Distribution . 

Ví dụ .  Giả sử rằng tổng thể được bởi phân phối thường có mu = 24.6  và độ lêch chuẩn  sigma =  1.3 . Hỏi có bao nhiêu phần trăm dữ liệu trong khoảng 25.3  và  26.8 ? 

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .
 Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2)

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .
 Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2)

Như vậy có xấp xỉ khoảng 24.9% dữ liệu trong khoảng 25.3 và 26.8 .

Ví dụ . Chiều cao của nhóm người Nhật được xem như có dạng phân phối thường . Trung bình chiều cao là  68 inches , độ lệch chuẩn là 4 inches . Tìm xác suất của các biến cố sau

a. cao hơn  73 inches

b.trong khoảng  60  và 75 inches .

 2.5 Biên sai - Margin of Error  ( MOE )

Ví dụ . Giả sử rằng với  độ tin cậy 90% trong chiến dịch bầu cử , hãy tìm biên sai trong các trường hợp sau

a. kích thước mẫu  n  =  275                 

b.  kích thước mẫu  n  =  750

Cách  2  :  truy cập vào link sau   http://www.relevantinsights.com/research-tools
 Nhập liệu như hình sau , đọc MOE ( Margin of Error )

Điều này nghĩa là từ cuộc điều tra mẫu có 275 người , ta có độ tin cậy khoảng 90% mà sai số khả dĩ lớn nhất trong quy mô mẫu có thể cộng thêm hay bớt đi 5% điểm dữ liệu .

truy cập vào link sau   http://www.relevantinsights.com/research-tools
 Nhập liệu như hình sau , đọc MOE ( Margin of Error )

Ví dụ . Trong cuộc điều tra 500 sinh viên đang học tại Đại học Yale , có 410 người trả lời rằng họ sẽ tốt nghiệp sau 4 năm . 
a. Tìm quy mô mẫu thỏa mãn điều kiện  tốt nghiệp sau 4 năm .
b. Với độ tin cậy 95% , tìm biên sai MOE .
c. Giải thích các số liệu thu được .

Lời giải .
a. Quy mô mẫu là   410/500 = 0.82  = 82%
b. 

c. Như vậy với độ tin cậy  95%  thì biên sai là  4.4%  , khi đó quy mô mẫu sẽ là   82%  + (-)  4.4%  . Đây là tỷ lệ sinh viên cho rằng sẽ tốt nghiệp sau 4 năm học .     

Nói cách khác là có khoảng từ 77.6%   đến  86.4%  tỷ lệ sinh viên Đại học Yale cho rằng sẽ tốt nghiệp sau 4 năm học .     

3 . HỒI QUY TUYẾN TÍNH -LINEAR REGRESSION . 

3.1 Công thức hồi quy tuyến tính .

Xét hai điểm cho trước (x1,y1)  và  (x2,y2) , giả thiết rằng x , y có quan hệ tuyến tính  , khi đó ta sẽ tìm được đường thẳng nối 2 điểm này . Quá trình tìm phương trình đường thẳng này gọi là hồi quy tuyến tính . Phương trình thỏa mãn tính chất này được gọi là mô hình toán học của quan hệ tuyến tính .

Khi các dữ liệu điểm chi ra khuynh hướng tuyến tính , ta có thể thiết lập đường thẳng xấp xỉ tốt nhất . Đường thẳng này được gọi là đường điều hóa tốt nhất ( BFL , Best-fitted Line )  .

Ví dụ :  Cho các điểm  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) 

a. Tìm đường điều hóa tốt nhất  (BFL)
b. Chấm tọa độ các điểm và vẽ đồ thị của BFL trên cùng mạt phẳng tọa độ  .

Lời giải .

Xét bảng số liệu sau .

Dùng công thức tính b  và  a .

  

LƯU Ý KỸ THUẬT 

Sau khi mô hình của tập hợp dữ liệu đã được tìm thấy, nó có thể được làm tròn cho mục đích báo cáo. Tuy nhiên, không sử dụng một mô hình làm tròn trong khi tính toán, và cũng không làm tròn đáp số trong quá trình tính toán, trừ khi có quy định khác. Khi mô hình được sử dụng để tìm các đáp số ngoại suy hay nội suy khác  , nên được làm tròn một cách thích hợp với yêu cầu bài toán , và khi kiểm tra lại không có độ chính xác quá sai biệt so với các xuất liệu gốc . 

 Ví dụ  * Phát tán khí thải     Luợng khí thải phát tán ở Hoa Kỳ  từ 1986  đến 1995 được cho ở bảng dưới đây

Năm	Khí thải  ( tấn )	Năm	Khí thải  ( tấn )
1986	109,199	1991	93,376
1987	108,012	1992	94,043
1988	115,849	1993	94,133
1989	103,144	1994	98,779
1990	100,650	1995	92,099

1. Sắp xếp các đữ liệu với x là số năm sau 1980 và y là khối lượng khí thải phát tán ( tấn )  . Vẽ các điểm dữ liệu này .
2. Viết phương trình đường điều hóa tốt nhất cho các điểm dữ liệu (BFL) .
3. Vẽ đồ thị của mô hình tuyến tính trên cùng hệ trục tọa độ với các điểm dữ liệu .
4. So sánh sự thay đổi của sự phát tán hằng năm và độ dốc của đường điều hóa tốt nhất BFL .

Lời giải  

a. Từ 1986  đến 1995 , ta sắp xếp lại dữ liệu của x  , chọn  x = 0  biểu diễn cho 1980 ,

Năm	Khí thải ( tấn )	Năm	Khí thải  (tấn)
6	109,199	11	93,376
7	108,012	12	94,043
8	115,849	13	94,133
9	103,144	14	98,779
10	100,650	15	92,099

Dùng CurveExpert tìm BFL . 

Nhập và vẽ các điểm dữ liệu .

b. Click vào Apply Fit  - > chọn  Linear Fit

Thêm chú thích

Click Info xem kết quả tìm b và a .

3.2  Hệ số tương quan tuyến tính .

Ta luôn luôn có thể tìm được BFL cho bất kỳ các tập điểm dữ liệu , nhưng độ chính xác là bao nhiêu để đường thẳng tìm được có thể đáp ứng cho mô hình toán học đó ? 

Nếu những điểm dữ liệu phân tán xa BFL thì đây là quan hệ tuyến tính yếu  . Ngược lại nếu chúng tập trung gần với  BFL  ta có mối quan hệ tuyến tính mạnh và  BFL có thể đại diện cho những dự báo nội suy hoặc ngoại suy tốt .

Độ mạnh của khuynh hướng tuyến tính có thể được mô tả bởi hệ số tương quan tuyến tính , ký‎ hiệu là  r  .

Một cách tổng quát  ,  r  càng gần  -1  và  1 , khuynh hướng tuyến tính giữa x và y càng mạnh khi đó  BFL có thể áp dụng cho dự báo một cách đáng tin cậy  .  Nếu  r gần  0  ,  quan hệ tuyến tinh giữa   x  và  y  yếu đi  , BFL không cho ta những kết quả dự báo tốt . 

Ví dụ  . Cho các diểm dữ liệu sau  
(5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) .

Tìm hệ số tương quan tuyến tính  r ?

Lời giải .

Ví dụ .  * Thất nghiệp và thu nhập cá nhân  .   Bảng dữ liệu sau chỉ ra tỷ lệ thất nghiệp và tổng thu nhập cá nhân tại Hoa Kỳ theo các năm tương ứng .

1. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tổng thu nhập cá nhân nếu tỷ lệ thất nghiệp là 5% ( nội suy ).
2. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tỷ lệ thất nghiệp nếu tổng thu nhập cá nhân là    $10 billion  ( 10 tỷ USD ) ( ngoại suy ) .
3. Những dự báo ở  câu (a)  và  (b)  có đáng tin cậy không ? Giải thich ?

Năm	Tỷ lệ thất nghiệp               ( % )	Tổng thu nhập cá nhân           (Tỷ  $USD )
1975	8.5	1.3
1980	7.1	2.3
1985	7.2	3.4
1990	5.6	4.8
1995	5.6	6.1
2000	4.0	8.3

Lời giải

1. Nhập và vẽ các điểm dữ liệu bằng Curve Expert  với x là tỷ lệ thất nghiệp , y là tổng thu nhập .

Linear fit để tìm các hệ số của BFL  .

c.  Với hệ số tương quan tuyến tính   r  =  -0.970438  sát với -1 , có thể kết luận những dự báo này là có độ tin cậy tốt , quan hệ tuyến tính giữa x và y có mức độ mạnh .

 Ngoài ra , vì   r  <0  , ta có thể nói rằng tổng thu nhập cá nhân  y ( total personal income )  giảm dần  khi tỷ lệ thất nghiệp  x ( unemployment rate ) gia tăng .

**************************************************************


Trần hồng Cơ 
30/10/2012



 
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 
 Albert Einstein .