GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3- PHẦN 3 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 3 . 

Bức tranh pha của hệ phẳng .  
Phân loại các hệ phẳng  .
Hệ phi tuyến phẳng  .
Phân nhánh trong hệ phi tuyến phẳng . 

Bài tập thực hành .  

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
26/02/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.




1. Bức tranh pha của hệ phẳng .  

1.1  Hệ động lực phẳng tuyến tính .
Trong Chương 3 - Phần 2  chúng ta đã phần nào hiểu được sự phân nhánh trong phương trình vi phân , các tính chất của điểm cân bằng cùng với sự ổn định tuyến tính của quỹ đạo . Một lớp bài toán quan trọng đó là hệ động lực phẳng tuyến tính và việc giải quyết chúng đem lại khá nhiều ứng dụng trong thực tiễn . Trường hợp autonomous hệ động lực phẳng tuyến tính có dạng đơn giản như sau (1)

Ví dụ 1. Xét hệ động lực phẳng tuyến tính autonomous  

1.1.1  Điểm cân bằng của hệ động lực phẳng tuyến tính .
Tương tự như Chương 3 - Phần 2 - 2.1 , để tìm điểm cân bằng cho hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) , ta giải phương trình ma trận    

                        V' =  AV  =  0 

a. Các tính chất của trạng thái cân bằng  .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Nếu định thức của A khác 0  
( detA  =/=  0  hay  | A |  =/=  0  )  thì  hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
+Nếu định thức của A bằng 0  
( detA  =  0 hay  | A |  =  0 )  thì hệ có một đường thẳng đi qua gốc ( 0 , 0 ) trên đó mỗi điểm đều là điểm cân bằng .

Ví dụ 2 . Như trên , detA  = (2).(-3) - (3).(6) = - 24 =/= 0  => hệ có điểm cân bằng duy nhất ( 0 , 0 ) .
Kiểm tra bằng Maple  

Ví dụ 3 .   Xét hệ 

Kiểm tra bằng Maple 

b. Trị đặc trưng - Vectơ đặc trưng - Nghiệm của hệ phẳng tuyến tính autonomous .
Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1)
+Trị đặc trưng của hệ là nghiệm m của phương trình đặc trưng  | A  - m I |  =  0 .
+Vectơ đặc trưng của hệ ký hiệu Vdt là vectơ khác vectơ 0 sao cho   AVdt    =  mVdt    . 
+Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Ví dụ 4. Xét hệ 

b. Nghiệm của hệ (1) có dạng   V  =  e^(mt)Vdt   .

Kiểm tra bằng Maple 

1.1.2  Trị đặc trưng và bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .

Xét hệ phẳng tuyến tính autonomous (1) với trị đặc trưng m . Những trường hợp sau đây có thể xảy ra .
a. Các trị đặc trưng là thực và riêng biệt .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  < 0 < m2  ( trái dấu ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm yên ngựa - saddle .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1 < m2  < 0   ( cùng âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
   0  <  m1 < m2   ( cùng dương )  . 
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn - source .

b. Các trị đặc trưng là thực và trùng nhau .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   < 0  ( nghiệm kép âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm kép - sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số thực thỏa 
  m1  =  m2   > 0  ( nghiệm kép dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn kép - source .

c. Các trị đặc trưng là phức  .
+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  <  0 ( phần thực âm ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm chìm xoắn - spiral sink .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =  a + ib ; m2  = a - ib    thỏa  a  >  0 ( phần thực dương ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là điểm nguồn xoắn - spiral source .

+Trị đặc trưng của hệ  m1 , m2 là số phức 
  m1  =   + ib ; m2  =  - ib    thỏa  a  =  0 ( phần thực bằng 0  ) .
Điểm cân bằng của hệ gọi là  tâm điểm - center .

1.2  Các ví dụ minh họa bức tranh pha của hệ động lực phẳng tuyến tính .
1.2.1  Ví dụ minh họa .

Trần hồng Cơ .
07/04/2013 .


Xem chi tiết trên trang 
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/p/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 3-PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 3-

PHẦN 2 .

Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
Mô hình logistic - Hằng số thu hoạch và phân nhánh .
Nghiệm tuần hoàn - Hệ thời gian rời rạc  .
Ánh xạ Poincaré - Tính ổn định của quỹ đạo .

Bài tập thực hành . 






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
27/01/2013 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.





1. Sơ lược về phân nhánh trong phương trình vi phân cấp 1 .  
1.1  Giới thiệu .
Khảo sát phương trình vi phân có chứa tham số , khi ta thay đổi tham số này động lực học của phương trình cũng sẽ biến đổi theo . Những hiện tượng có thể  xẩy ra như sau  
+Nghiệm cân bằng ( ta đã xét trong Chương 3 Phần 1 )  sẽ mất tính ổn định .
+Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân có thể sẽ xuất hiện .
+Trạng thái cân bằng mới được tạo ra làm cho tính cân bằng ban đầu trở nên không ổn định .  
Giá trị của tham số tạo ra những sự thay đổi đó gọi là giá trị phân nhánh và tham số chính gây ra sự phân nhánh gọi là tham số phân nhánh .

http://www.elmer.unibas.ch/pendulum/bif.htm

1.2  Phân loại .
Có 2 lớp phân nhánh cơ bản 
1.2.1 Phân nhánh cục bộ ( Local bifurcation ) .
Xảy ra khi với một sự thay đổi tham số sẽ làm cho điểm cân bằng ( hay điểm bất động , điểm cố định  - fixed point ) thay đổi . 
a.Trong những hệ liên tục , điều này tương ứng với phần thực  ( Re ) của một trị đặc trưng của điểm cân bằng đi qua điểm 0 . 

Cho phương trình  vi phân liên tục autonomous chứa tham số m  
   
                          x '  =  f(m, x) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo,xo) khi định thức Jacobi df(mo,xo) có một trị đặc trưng với phần thực bằng 0 .
-Nếu  một trị đặc trưng bằng 0 thì phân nhánh là trạng thái ổn định .

-Nếu  một trị đặc trưng khác 0 và thuần ảo thì phân nhánh là trạng thái Hopf .


b. Trong những hệ rời rạc ( thường được mô tả bằng ánh xạ hơn là phương trình vi phân ) ,  điều này tương ứng với một điểm bất động (cố định) chứa nhân tử Floquet có module bằng 1 .

Cho phương trình  vi phân rời rạc autonomous chứa tham số m  
   
                          xn+1   =  f(m, xn) .

phân nhánh cục bộ tại điểm (mo, x o) khi định thức Jacobi  df(mo,xo) có một trị đặc trưng với module bằng 1 .

Trần hồng Cơ .
25/02/2013 .

Xem chi tiết trên trang 
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/p/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html



This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.  
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .