TOÁN THỰC HÀNH - PRACTICAL MATHEMATICS .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

Đây là tài liệu  môn Mathematics dành cho sinh viên chuyên ngành Quản trị kinh doanh của chương trình  Du học tại chỗ - Liên kết đào tạo với Đại học Hoa kỳ , tác giả đã trực tiếp biên soạn và giảng dạy các năm 2008-2010 . ( Xem đề cương chi tiết tại  http://cohtran.yolasite.com/semester-courses.php )

Bản gốc giáo trình này bằng tiếng Anh , được dịch và chỉnh lý sang Việt ngữ với tựa đề TOÁN ĐƠN GIẢN - TOÁN HỌC THỰC HÀNH  với ý định rõ ràng : đó là cung cấp cho người đọc những khái niệm Toán học cùng các ứng dụng trong thực tế .

Như tên gọi của nó , thật hết sức đơn giản khi làm việc với những định nghĩa , định lý , hệ quả và đặc biệt là việc vận dụng linh hoạt các nội dung này vào những hoạt động khoa học-kinh tế -xã hội , nhận biết được các lợi ích cũng như những dự báo có tính chính xác tương đối cao .

Rất mong nhận được nhiều đóng góp tích cực từ người đọc để bản thảo này được hoàn thiện hơn .

Xin liên lạc với tác giả qua e-mail : cohtran@mail.com

Trần hồng Cơ ,

Ngày 19/06/2012 .

COURSE SYLLABUS

MATHEMATICS

Lecturer : MSc Math-Mech TRAN HONG CO .

Introduction

The goal of this course is to expose students to topics in Mathematics that are often used in scientific approaches especially in economic and business management . The mathematic course contains many problems from the basic to the advanced, to supply student with  a wide range of abilities and interests. Beside some of the examples are simply designed to build skills, every effort has been made to generalize problems, so that students can see common uses and practical applications of the mathematics they are studying, and appreciate the power of mathematics. We hope that students will be able to seize the essence of all the matters and also make use of mathematical concepts to the realities .  

Objectives

There are three objectives  :

1  .To introduce the basic concepts in mathematics : sets , counting and logic . From the such essentials , the students would be provided knowledge to access data with combinatorics , probability and financial tools .

2  . Considering the operations        and applications of matrices  . The students would be communicated key concepts in linear algebra and usefulness of matrices for solving the optimization problem and prediction by Markov’s chains .

3  . To provide the concepts in calculus and applications to the students briefly but completely including limitation , differentiation and integration . 

Materials

Students can refer to materials as following

-Mathematics – A practical course , CoHongTran , 2008

-Mathematics for the international student , Paul Urban , Haese-Harris

Publications , 2004 .

-Calculus I , Paul Dawkins , 2007 . -Business Calculus Demystify , Rhonda HuettenMueller , Mc Graw-

Hill , 2006 .

-Mathematics –A practical Odyssey , David B. Johnson , Thompson-Brooks/Cole , 2005 .

Contents

Mathematics is a 16-week course , including 7 chapters , 5 home assignments , a midterm and final test . 

Chapter 1 . LOGIC , SETS  AND COUNTING

1.1 SETS – BINARY OPERATIONS

1.2 SYMBOLIC LOGIC – BICONDITIONAL

1.3 COUNTING - COMBINATORIAL LOGIC

 Chapter 2 . PROBABILITY , STATISTICS AND FINANCE .

2.1   PROBABILITY - COMBINATORICS –EXPECTED  VALUE

2. 2 STATISTICS , LINEAR REGRESSION  

2. 3 FINANCE

    

                   

Chapter 3 . GEOMETRY

3.1 GEOMETRICAL FORMULAS

3.2 POLYGON GEOMETRY

3.3 SPACE SOLID GEOMETRY

3.4 2D AND 3D COORDINATE SYSTEMS

3.5 TRIGONOMETRY 

3.6 CONIC

   

                    

Chapter 4 . LINEAR ALGEBRA

4.1 MATRICES – BASIC OPERATIONS

4.2 INVERSE MATRICES – MATRIX EQUATIONS

4.3 SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS WITH NON-UNIQUE SOLUTIONS

4.4 SYSTEMS OF LINEAR INEQUALITIES

4.5 LINEAR PROGRAMMING , GRAPHICAL METHODS

4.6 MARKOV CHAINS

                       

CHAPTER 5 . EXPONENTIAL AND LOGARITHM

5.1 EXPONENTIAL FUNCTIONS

5.2 LOGARITHMIC FUNCTIONS

5.3 SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS – LOGARITHMIC EQUATIONS

5.4 EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC MODELS

                       

CHAPTER 6 . CALCULUS

6.1 SEQUENCES - DISCRETE FUNCTIONS

6.2 SERIES

6.3 LIMITS OF FUNTIONS

6.4 THE DERIVATIVE

6.5 THE INTEGRATION

                       

CHAPTER 7 . APPLICATIONS OF DERIVATIVES AND INTEGRATIONS

7.1 APPLICATIONS OF DERIVATIVES

7.2 APPLICATIONS OF DERIVATIVES ( cont )

7.3 APPLICATIONS OF INTEGRATIONS

7.4 APPLICATIONS OF INTEGRATIONS (cont)

Assignments

There are 5 home assignments based on the topics in chapters above . 

HOME ASSIGNMENT 1

1. LOGIC , SET , COUNTING 

2. PROBABILITY , STATISTICS 

HOME ASSIGNMENT 2

1. FINANCE
2 .GEOMETRY

HOME ASSIGNMENT 3

1. GEOMETRY

2. LINEAR ALGEBRA

HOME ASSIGNMENT 4

1. EXPONENTIAL AND LOGARITHM

2. CALCULUS

HOME ASSIGNMENT 5

1.  LIMITS

2 . DERIVATIVE

3.  INTEGRATION 

Examinations

The midterm and final test are open-book examinations and 1 ½  hours long both . The midterm covers chapters 1 – 4 , and final covers chapters 5 – 7 .

Grading

The final grade will be determined as follows 

TOTAL HOME ASSIGNS SCORES  30% 
MIDTERM SCORES 35%
FINAL SCORES  35%

FINAL
SCORES		GRADES
	0	F
	60	C-
	64	C
	71	C+
	75	B-
	79	B
	86	B+
	90	A-
	94	A

  ***************************************************

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 1 .  1.1

Chương 1 .  LOGIC , TẬP HỢP  VÀ  PHÉP ĐẾM .

 

Bài giảng

1.1          TẬP HỢP – PHÉP TOÁN TẬP HỢP .  

         

Chủ đề 

- Tập hợp và tập hợp con  .

- Phép toán tập hợp  .

- Luật  De Morgan .

Ứng dụng

-Xác định bản số tập hợp .

Khái niệm cơ bản

*  Phép toán tập hợp  ( Hợp , Giao , Hiệu  – Phần bù )  .

1.    Tập hợp – tập hợp con .

- Một tập hợp là một bộ sưu tập các đối tượng hoặc sự vật có cùng tính chất . Những đối tượng hoặc sự vật đó gọi là phần tử của tập hợp .

Ví dụ   A = { a , b , c , 1 , 2 , x , y }

- Bản số của tập hợp  A  là số phần tử của A ký hiệu là card(A)  hoặc  n(A) .

Ví dụ   A = { a , b , c , 1 , 2 , x , y }    ,  n(A)  =  7

- Tập hợp có thể được biểu diễn bởi giản đồ Venn như sau ( Venn diagram  ) 

Ví dụ  . * Lập đội điền kinh .   

Có 148 sinh viên tham gia tập luyện thể dục thể thao trong đó có 76 người thích chạy bộ , 112 người thích nhảy sào và 28 người không thích cả hai bộ môn này . Hỏi số sinh viên vừa thích cả hai môn này là bao nhiêu người để từ đó lập ra một đội tuyển thi đấu điền kinh .

Lời giải .

Gọi tổng số sinh viên tập luyện thể thao là  n(T)  =  148 người 
Số sinh viên thích chạy bộ là  n(B)  =  76 người 
Số sinh viên thích nhảy sào là  n(S)  =   112 người 
Số sinh viên không thích chạy bộ và nhảy sào là  n(~BUS)  =  28 người 
Tập hợp những nsinh viên thích cả hai môn ký hiệu là  B^S .

Vậy số người thích chạy bộ hoặc nhảy sào hoặc cả hai môn này là 

n(BUS)   =  n(T)  \  n(~BUS)  =  148  -  28  =  120 ( người )

n(BUS)  =  n(B)  +  n(S)  -  n(B^S)

hay  120  =  76  +  112  -   n(B^S)
Khi đó   n(B^S)   =   76  +  112  -  120  =  68 ( người )




Ví dụ  . * Lựa chọn ngoại ngữ .

Khoa quản trị có 60 sinh viên trong đó có 40 chọn ngoại ngữ Anh , 30 chọn ngoại ngữ Pháp và 20 người chọn cả hai bộ môn này . 

Hỏi số sinh viên 
a. Chỉ chọn ngoại ngữ Anh .
b. Chỉ chọn ngoại ngữ Pháp .
c. Không chọn cả hai ngoại ngữ Anh và Pháp . 
d. Chọn một trong hai  hoặc cả hai ngoại ngữ .


Lời giải .

Lời giải .

Gọi tổng số sinh viên của khoa là  n(K)  =  60
Số sinh viên chọn Anh văn là  n(A)  =  40 người 
Số sinh viên chọn Pháp văn là  n(P)  =  30 người 
Số sinh viên chọn cả hai Anh văn và Pháp văn là n(A^P)  =  20 người .

a. Như vậy số sinh viên chỉ chọn Anh văn là :  n(A~P)  =  40  -  20  =  20 (người)

b. Số sinh viên chỉ chọn Pháp văn là :  n(P~A)  =  30  -  20  =  10 (người)
Như vậy  n(AUP)  =  n(A\P)  +   n(P)  =  ( 40 - 20 ) + 30  = 50 (người)

c. Số sinh viên không chọn cả hai ngoại ngữ là 
n(~A^~P) =  n(K)  -  n(AUP)  =  60  -  50  =  10 ( người)

d. Số sinh viên chọn một trong hai  hoặc cả hai ngoại ngữ là 
n(AUP)  =  50 (người)



*************************************************

Trần hồng Cơ 

20/6/2012





This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 1 .  1.2
 

1.2         LOGIC HÌNH THỨC – SONG ĐIỀU KIỆN .  

 

         

Chủ đề   

- Tập hợp và tập hợp con .

- Quan hệ logic   .

- Luật De Morgan .

Ứng dụng

-

Khái niệm cơ bản

*  Phép toán tập hợp   ( Hợp , Giao , Hiệu  – Phần bù )  .

1.  LOGIC HÌNH THỨC .

 

Bảng so sánh các thành phần và ký hiệu dùng trong lý‎ thuyết tập hợp và logic mệnh đề .

 

Ví dụ  .  Lập bảng chân trị của biểu diễn hình thức .

Lời giải

Ví dụ .  Chứng tỏ rằng   

  là mệnh đề lặp thừa  tautology . ( i.e  luôn luôn đúng )

Hệ thống logic mệnh đề theo trường phái khắc kỷ được trình bày dưới dạng lý thuyết diễn dịch với 5 qui tắc diễn dịch cơ bản được coi như những tiên đề sau :

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 

(1)Nếu có A thì có B, mà có A vậy có B. 

  (  A = > B  )

(2)Nếu có A thì có B, mà không có B vậy không có A. 
 ( A = > B  < = >  ~B  => ~A )

(3)Không có đồng thời A và B, mà có A vậy không có B. 
 (  ~ ( A ^ B ) ^ A  => ~B )

(4)Hoặc A hoặc B, mà có A vậy không có B.  

[ ( ~A ^ B ) V ( ~B ^ A ) ]^ A => ~B

(5)Hoặc A hoặc B, mà không có B vậy có A. 

[ (~A ^ B ) V ( ~B ^ A ) ] ^ ~B => A

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

*************************************************

Trần hồng Cơ 

20/6/2012




 
This work is licensed under a
Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 1 .  1.3

1.3         PHÉP ĐẾM  -    LOGIC TỔ HỢP .

Chủ đề   

- Cơ sở phép đếm Fundamental of counting  .

- Logic tổ hợp .

Ứng dụng

- Tính toán với phép đếm .

Khái niệm cơ bản

*  Logic tổ hợp  ( Giai thừa -Factorial , Chỉnh hợp-Permutation , Tổ hợp - Combination )  .

1.        NGUYÊN LÝ CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM - FUNDAMENTAL PRINCIPAL OF COUNTING

 Phép cộng - Addition Rule 

Giả sử rằng ta phải giải quyết một việc gì đó với 2 phương án A hoặc B và có m , n cách quyết định tương ứng cho các phương án đó , khi đó ta có thể chọn được m+n   cách để đạt được kết quả .

Ví dụ .  Có mấy cách đi vào trường học nếu có 5 cổng chính và 3 cổng phụ .

Lời giải 

Phép nhân -  Multiplication Rule

Giả sử rằng ta phải giải quyết một việc gì đó với 2 phương án A và B và có m , n cách quyết định tương ứng cho các phương án đó , khi đó ta có thể chọn được m . n  cách để đạt được kết quả .

Ví dụ  .  Một số serial gồm 2 phụ âm theo sau bởi 3 chữ số khác 0 và tiếp theo là 1 nguyên âm { A , E , I , O , U } . Hãy xác định xem có bao nhiêu số serial được tạo thành biết

a.    Chữ và số không được lập lại trong một serial .

b.   Chữ và số có thể được lập lại trong một serial .

Lời giải .

a.    Mẫu của một số serial với  “ Chữ và số không được lập lại ” có dạng như sau 

b. Mẫu của một số serial với  “ Chữ và số có thể được lập lại ” có dạng như sau 

2. LOGIC TỔ HỢP - COMBINATORIAL LOGIC

  GIAI THỪA - FACTORIAL

Giai thừa của số nguyên dương n

(read n  factorial)  kí hiệu  n !  xác  định bởi

     n !  = n (n − 1) (n − 2) . . .3 2 1 .

Ví dụ  .  4! = 4 .3. 2. 1 = 24.    Quy ước     0! = 1.

Từ các chữ số { 1,2,3,4,5,6 } có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau .

Lời giải .

CHỈNH HỢP - PERMUTATION 

 Chỉnh hợp - Permutation  :  là một sự sắp xếp có thứ tự  gồm một số đặc biệt các phần tử được chọn từ 1 tập hợp . Số các chỉnh hợp gồm  r  phần tử từ  n  phần tử  là  n!/(n-r)!    thường viết [n]P[r]

 hay   ^(n )P[r]. 

 TỔ HỢP  -  COMBINATION 

Tổ hợp – Combination :  là một sự sắp xếp không có thứ tự  gồm một số đặc biệt các phần tử được chọn từ 1 tập hợp . Số các tổ hợp gồm  r  phần tử từ n phần tử  là  n!/ [ r!(n-r)!]    thường viết [n]C[r]

 hay   ^(n )C[r]. 

*************************************************

Trần hồng Cơ 

28/9/2012

 

This work is licensed under a

Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.1

Chương 2 .  XÁC SUẤT ,  THỐNG KÊ  VÀ  CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG  .

Bài giảng

2.1         XÁC SUẤT ( PROBABILITY ) -  ĐẠI LƯỢNG TỔ HỢP ( COMBINATORICS ) -  GIÁ TRỊ KỲ VỌNG  ( EXPECTED  VALUE )  

         

Chủ đề 

- Khái niệm cơ bản về xác suất   .

- Luật xác suất  .

- Đại lượng tổ hợp , giá trị kỳ vọng .

- Xác suất có điều kiện .

Ứng dụng

- Tung súc sắc .

- Khuyết tật trong sản xuất  .

- Xổ số .

- Chơi bài .

- Tung đồng xu .

Khái niệm cơ bản

*  Khaí  niệm  ( Thực nghiệm - Experiment – Biến cố – Luật số lớn - Law of large number )  .

* Luật xác suất ( Biến cố không liên quan - Mutually exclusive events )

* Đại lượng tổ hợp - Combinatorics ( Giá trị kỳ vọng -Expected value )

* Xác suất có điều kiện - Conditional probability ( Luật nhân xác suất -Product rule –Biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập -Dependent and independent events – Sơ đồ cây - Tree diagram)

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

 1. Khái niệm cơ bản về xác suất .

* Thực nghiệm :  là quá trình thu được từ một sự quan sát hiện tượng nào đó .

* Không gian mẫu - Sample space : kí hiệu  S  gồm các thu hoạch khả dĩ của thực nghiệm .

* Biến cố  : là tập con  E  của không gian mẫu S .

Ví dụ .

Thực nghiệm   ( experiment  ) tung súc sắc  .

Thu hoạch khả dĩ ( possible outcomes ) của con súc sắc đơn là các nút  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  .

Không gian mẫu  ( sample space )  là  S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  }

Một số các biến cố khả dĩ như sau :

E1 = {3}  “ xuất hiện nút 3  ”

E2 = {2,4,6}  “ xuất hiện các nút chẵn ”

E3 = {1,3,5}  “xuất hiện các nút lẻ ”

…

 Xác suất của biến cố - Probability of an event 

Ví dụ .  Tung con súc sắc đồng chất  . Tìm :

a.    Xác suất xẩy ra nút 5 .

b.   Xác suất xẩy ra nút nhỏ hơn 5  .

c.    Xác suất xẩy ra nút lớn hơn 4 .

Lời giải .

a. Thực nghiệm   ( experiment  ) tung súc sắc  .

Thu hoạch khả dĩ ( possible outcomes ) của con súc sắc đơn là các nút  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  .

Không gian mẫu  ( sample space )  S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  }  ;  n(S)  = 6

 Luật số lớn - Law  of large numbers 

Nếu thực nghiệm được lập lại rất nhiều lần thì tần suất tương đối của một thu hoạch có xu hướng tiến dần về xác suất của thu hoạch đó  . 

  2. Luật xác suất  .

  Luật xác suất   1  

Hai biến cố không thể xẩy ra đồng thời được gọi là biến cố không liên quan – nghĩa là phần giao của 2 biến cố này là  Æ .

Ví dụ .  Tung con súc sắc đồng chất  .  

Gọi  E  là biến cố “ xuất hiện nút chẵn ” .

Gọi  O  là biến cố “ xuất hiện nút lẻ ” .

Gọi G3 là biến cố “ xuất hiện nút lớn hơn 3 ” .

a. E và G3 có phải là biến cố không liên quan ?

b. E và O có phải là biến cố không liên quan ?

Lời giải .

a.    E  = {2,4,6}  ;  G3  = {4,5,6}  =>  E Ç G3  = {4,6}  ¹  Æ

    E và G3 không phải là biến cố không liên quan .

b.   E  = {2,4,6}  ;   O  = {1,3,5}  =>  E Ç O  =   Æ

    E và O  là biến cố không liên quan .

  Luật xác suất   2 

Ví dụ . Công ty   E-Digital  Ltd   sản xuất các mặt hàng TV ,  DVD  .  Một cuộc khảo sát về các sản phẩm gần đây chỉ ra rằng  có  5% lỗi khuyết tật của mặt hàng TV , 3% của DVD , và  7% lỗi ít nhất một trong hai mặt hàng này  . Tìm xác suất của các sản phẩm của  E-Digital trong các trường hợp :

a.    Lỗi cả hai sản phẩm .

b.   Không có thuộc cả hai sản phẩm .

Lời giải .

Kí hiệu  P(T)  là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV .

 P(D) là xác suất khuyết tật của sản phẩm  DVD .

P(TUD) là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV hoặc DVD .

P(TÇD) là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV và DVD .

Bài toán được mô hình hóa bằng giản đồ Venn như sau 

3.    Các đại lượng tổ hợp ( COMBINATORICS ) -  Giá trị kỳ vọng ( EXPECTED  VALUE )  

 Liên quan giữa xác suất và các đại lượng tổ hợp .

Tìm xác suất bao gồm việc tìm số lần các thu hoạch khả dĩ của biến cố  n(E) ( bản số của tập E )  và số các thu hoạch khả dĩ của không gian mẫu n (S) ( bản số của tập S )  . Ta thường dùng các định luật xác suất và các đại lượng tổ hợp như chỉnh hợp , tổ hợp … để tính số lần các thu hoạch khả dĩ  này .

Ví dụ .  Georgia , Texas, California và Maryland là 4 tiểu bang của Hoa Kỳ thường tổ chức các đợt xổ số  6 / 44 ;  người tham gia được chọn 6 số bất kỳ từ 1 đến 44  . Nếu 6 số này khớp với 6 số được xổ từ lồng quay thì người chơi sẽ thắng giải . Hãy tìm xác suất thắng cuộc .

Lời giải .

Gọi E là biến cố thắng giải  , vì chỉ có 1 giải duy nhất nên  

n(E) = 1 .  Chọn 6 số bất kỳ từ 1 đến 44 , không có thứ tự nên ta sẽ dùng công thức tổ hợp . Số cách chọn 

Giá trị kỳ vọng - Expected  Value 

Giá trị kỳ vọng   Ev của thực nghiệm được tính bởi 

Ví dụ . Phân tích thông tin bán hàng , một thương gia tìm thấy tiền hoa hồng thu được hằng tuần có trong bảng xác suất sau  . Tính kỳ vọng thu được tiền hoa hồng hằng tuần .

Dùng công thức tính kỳ vọng ta có   Ev  =  $240   . Như vậy thương gia này có thể kỳ vọng rằng trong tương lai sẽ thu được một khoản tiền hoa hồng trung bình là$240 / tuần . 

4 .   Xác suất có điều kiện ( CONDITIONAL PROBABILITY )  - Luật nhân xác suất ( THE PRODUCT RULE )  - Biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập ( DEPENDENT AND INDEPENDENT EVENTS )   

* Xác suất của biến cố A với điều kiện có biến cố B kí hiệu là  P(A|B)  được cho bởi công thức 

Ví dụ .

Trong cuộc điều tra thực nghiệm liên quan đến tác hại của thuốc lá , 600 người được hỏi ý kiến của họ về chất nicotine đối với sức khỏe . Những câu trả lời của họ được chỉ ra theo số liệu trong bảng sau   

Tính xác suất của các hiện tượng

a.    Câu trả lời là "có"  ; Câu trả lời là "không" .

b.   Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong giới nữ ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong giới nam .

c.    Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong số những người nói có ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong số những người nói có .

d.   Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong toàn thể ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong toàn thể .

Lời giải .

a.Câu trả lời là "có"  ; Câu trả lời là "không" .

* Xác suất câu trả lời “có ”  là  P(có) = n(có) / n(S)  = 418/600 » 0.70 = 70%

* Xác suất câu trả lời “không”   là P( không) = n(không) / n(S)  = 140/600 » 0.23 = 23%

b. Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong giới nữ ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong giới nam .

Từ số liệu

Nữ

256

45

19

320

* Xác suất là “có”từ một người nữ trong giới nữ   là P(có|nữ) = n(cóÇnữ) / n(nữ)  = 256/320 » 0.80 = 80%

* Xác suất là “có”từ một người nam trong giới nam   là  P(có|nam) = n(cóÇnam) / n(nam)  = 162/280 » 0.58 = 58%

Nam

162

95

23

280

Nói cách khác có 58% nam trả lời “có” và  80% nữ trả lời “có” trong cuộc khảo sát , điều này chỉ ra rằng nam và nữ giới không cùng y kiến về tác hại của khói thuốc lá .

c.Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong số những người nói có ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong số những người nói có .

* Xác suất của câu trả lời từ người nữ nói “có”  trong số người nói  “có” , là  : P(nữ|có) =  n(nữÇcó) / n(có)  = 256 / 418 » 0.61 = 61% . Nghĩa là xấp xỉ   61%  là nữ nói “có” trong số người nói “có” .

* Xác suất của câu trả lời từ người nam nói “có”  trong số người nói  “có” , là : P(nam|có) =  n(namÇcó) / n(có)  = 162 / 418 » 0.39 = 39% . Nghĩa là xấp xỉ   39%  là nam nói “có” trong số người nói “có” .

d.Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong toàn thể ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong toàn thể .

* Xác suất của câu trả lời từ người nam nói “có”  trong toàn thể  là  P(có|nam) = n(cóÇnam) / n(S)  = 162/600 » 0.27 = 27%  ( không điều kiện non-conditional)

* Xác suất của câu trả lời từ người nữ nói “có”  trong toàn thể  P(có|nữ) = n(cóÇnữ) / n(S)  = 256/600 » 0.42 = 42% (không điều kiện non-conditional)

 Luật nhân xác suất - The  Product  Rule 

Với mọi biến cố  A và B bất kỳ  , xác suất của biến cố A và B là 

 Sơ đồ cây - Tree Diagram

Ta thường dùng sơ đồ cây để giải các bài toán cụ thể , có thể hình dung như sau  

Ví dụ .  Hai lá bài được rút ra từ bộ bài 52 lá .  Tính xác suất để có 2 con cơ .

Lời giải .

Ta xét sơ đồ cây sau 

Ở nhánh thứ nhất , xác suất để có Lá 1- Cơ

là  P(Lá 1- Cơ) = 13/52 . 

Nhánh thứ hai , xác suất để có Lá 2- Cơ  là

P(Lá 2- Cơ| Lá 1-Cơ) = 12/51 .

Xác suất cần tìm là P(Lá 1 - Cơ  và  Lá 2 –Cơ ) : 

Theo công thức nhân xác suất  ,

P(Lá 1 -Cơ và Lá 2 -Cơ) =

P(Lá 2 -Cơ | Lá 1 -Cơ) x P( Lá 1-Cơ)   = 12/51 x 13/52 . 

Ví dụ .  Có 2 túi I và II . Túi I có 3 bi đỏ , 2 bi vàng . Túi II có 1 bi đỏ , 4 bi vàng . Chọn một bi trong một túi bằng cách tung đồng xu . Tính xác suất để có một bi vàng .

Lời giải .

Ta phân tích sơ đồ cây sau 

Ở túi I  , xác suất để có 1 bi vàng  

là  P1(vàng) = ½ .  2/5

Ở túi II  , xác suất để có 1 bi vàng 

là  P2(vàng) = ½ .  4/5

Xác suất để có bi vàng là  P(vàng) = P1(vàng) + P2(vàng) = 3/5

*************************************************

Trần hồng Cơ 

10/10/2012

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

 Albert Einstein .

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.2

Bài giảng .

2. 2   THỐNG KÊ - STATISTICS ,  HỒI QUY TUYẾN TÍNH - LINEAR  REGRESSION .

         

Chủ đề   

- Tổng thể (Population) , Mẫu (sample) , Dữ liệu (data) .

- Phân phối chuẩn  (normal distribution) .

- Hồi quy tuyến tính (Linear regression) .

Ứng dụng

- Tung súc sắc .

- Nghiên cứu diễn đàn .

- Giá xăng dầu .

- Tuổi lao động .

- Khảo sát chiều cao .

- Tỷ lệ thất nghiệp .

Khái niệm cơ bản  

*  Khái niệm  ( Tổng thể – Mẫu –Dữ liệu  )  .

* Độ đo trung tâm -Measure of centrality ( Trung bình (Mean) –Trung vị (Median) –Mốt (Mode ) )

* Độ đo phân tán -Measure of dispersion ( Phương sai (Variance) –Độ lệch (Deviation) –Độ lệch chuẩn (Standard deviation) )

* Phân phối chuẩn (The normal distribution) - Biến rời rạc và biến liên tục -Discrete and continous variables.

* Hồi quy tuyến tính (Linear Regression) ( Điều hóa tốt nhất (Best fit) –Hệ số tương quan tuyến tính (Coefficient of  linear correlation ) )

1.   TỔNG THỂ - MẪU – DỮ LIỆU .

·      Tập hợp các phần tử được khảo sát gọi là tổng thể . Tập con bất kỳ của tổng thể gọi là mẫu .  Khi khảo sát một tổng thể quá lớn ta không thể thu thập được tất cả các dữ liệu  của mọi phần tử  vì thế ta phải thu thập các dữ liệu của một mẫu nhỏ và dễ quản lí hơn  .

·      Mẫu được xem là mẫu tốt  “good sample” khi nó có thể đại diện cho tổng thể .

·      Khi đã thu thập đầy đủ dữ liệu ta có thể tổng kết bằng cách tính toán những thống kê mô tả khác nhau  .  Dữ liệu mẫu được thu thập và tóm tắt sẽ giúp chúng ta đưa ra kết luận hợp lý về tổng thể . 

Lập bảng phân phối tần số - Constructing  A  Frequency  Distribution 

* Nếu dữ liệu thô có ít giá trị khác nhau ta liệt kê các điểm dữ liệu riêng biệt . Ngược lại , nếu dữ liệu thô gồm nhiều giá trị khác nhau ta tạo các khoảng và làm việc theo dữ liệu nhóm .

* Kiểm đếm số lượng các điểm dữ liệu trong mỗi khoảng thời gian hoặc số lần xuất hiện các dữ liệu cá thể .

* Liệt kê tần số của mỗi khoảng thời gian hoặc mỗi điểm dữ liệu cá thể .

* Tìm tần số tương đối bằng cách chia tần số của của mỗi khoảng thời gian hoặc số lần xuất hiện các dữ liệu cá thể với tổng số các điểm dữ liệu có trong phân phối ( kết quả được ghi là % )   .

 1.1 Dữ liệu riêng biệt - Distinct  Data

Ví dụ   . Tung con súc sắc đồng chất , ta có kết quả các mặt như sau

1 1 2 5 5 6 1 6 5 3        

6 1 1 3 3 6 5 6 6 1

4 1 1 3 1 5 6 6 1 6

2 5 4 5 2 3 2 5 1 5

4 2 6 2 1 3 5 4 3 4

Hãy lập bảng phân phối tần số .

Lời giải  .

Dùng ESBStats , tạo workbook TUNG SUC SAC , nhập các dữ liệu điểm phân biệt 

Click vào Bar Graph xem biểu đồ cột .

Click vào Line Graph xem biểu đồ đường thẳng .

Click vào Descriptive Stats và Main Summary xem các số liệu thống kê mô tả như 

Độ tập trung - Measures of Centrality

  Trung bình -Mean: 3,5000

  Trung vị -Median: 3,5000

  Mốt -Mode: 1,0000

Độ phân tán - Measures of Dispersion

  Độ lệch trung bình -Mean Deviation: 1,7000

  Phương sai -Variance: 3,6020

  Độ lệch chuẩn -Standard Deviation: 1,8979

*************************************************
Xem youtube

Click vào link sau download TUNG SUC SAC 

http://www.adrive.com/public/QYD2zz/TUNG SUC SAC.exe

1.2  Dữ liệu nhóm - Grouped  Data

Ví dụ .   Diễn đàn được mở cửa cho người tham dự có tuổi ít nhất là 16 . Điều tra một mẫu gốm có 42 người với số tuổi như sau

26          16           21          34           18           41             38

48          27           22          30           39           62             25

25          38           29          31           28           20             56

60          24           61          28           32           33             18

23          27           46          30           34           62             49

59          19           20          23           24           45             22

Lập bảng phân phối tần số .

Lời giải .

Dùng ESBStats , tạo workbook TUOI DIEN DAN , nhập các dữ liệu nhóm 

Click vào Standard Histogram xem biểu đồ cột .

Click vào Pie Graph xem biểu đồ quạt .

Click vào Descriptive Stats và Main Summary xem các số liệu thống kê mô tả như 

Độ tập trung - Measures of Centrality

  Trung bình -Mean: 34,0952

  Trung vị -Median: 30,1538

  Mốt -Mode: 26,0000

Độ phân tán - Measures of Dispersion

  Độ lệch trung bình -Mean Deviation: 11,1565

  Phương sai -Variance: 186,7224

  Độ lệch chuẩn -Standard Deviation: 13,6646 

Xem hình 

*************************************************

Xem youtube

Click vào link sau download TUOI DIEN DAN

http://www.adrive.com/public/Zgsnr8/TUOIDIENDAN.exe 

1.3  Trung bình (MEAN)  , Trung vị (MEDIAN) , Mốt (MODE) ( Độ đo trung tâm -Measures of central tendency )

 Trung bình (Mean) 

Ví dụ .  Giá xăng dầu tại các trạm nhiên liệu khác nhau được khảo sát ( $/gallon )  và có số liệu theo bảng sau .  Tìm giá xăng dầu trung bình .

1.399       1.349       1.299       1.429       1.399       1.379      1.259

Ví dụ .   Năm  2001 văn phòng thống kê lao động Hoa Kỳ khảo sát tuổi công nhân . Bảng phân phối tần số như sau .

y   =  tuổi	Số công nhân                 (f)
16  <=  y  <  20	640,000
20  <=  y  <  25	660,000
25  <=  y  <  35	372,000
35  <=  y  <  45	276,000
45  <=  y  <  55	171,000
55  <=  y  <  65	111,000
	n = 2,300,000

Tìm độ tuổi trung bình của công nhân .

Cách tính trung bình  của dữ liệu khoảng

Trung vị -Median   Trung vị là giá trị chính giữa trong bảng phân phối các số liệu  .  Đánh số và xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu , 

+ Nếu số điểm dữ liệu là lẻ thì trung vị là giá trị của điểm dữ liệu nằm chính giữa .

+ Nếu số điểm dữ liệu là chẵn thì trung vị là giá trị trung bình của 2 điểm dữ liệu nằm chính giữa .

Lưu ý : Trung vị chia bảng phân phối thành 2 phần có số dữ liệu điểm bằng nhau .

Ví dụ . Tìm trung vị của các bảng phân phối sau .

a.  2      8      3      12     6     2      11

b.  2      8      3      12     6     2      11      8

Lời giải

  a. Xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu  

2     2     3     6     8    11     12   .  Vì có 7 điểm dữ liệu ( n = 7 , lẻ ) nên trung vị là   6 .

b.   Xếp thứ tự cho các điểm dữ liệu  

2     2     3     6     8      8     11     12   . Vì có 8 điểm dữ liệu ( n = 8 , chẵn ) nên trung vị là trung bình của  6  và  8   . Vậy trung vị là   ( 6 +8 )/ 2  =  7  . 

Dùng công cụ Meta Calculator trên Blog này tìm trung vị . Ở phần Statistic Calculator , nhập dữ liệu điểm 

Click vào Basic Stats , đọc các mô tả thống kê 

Ta có trung vị (Median ) là   6 . Tương tự cho ví dụ b.  

Click vào Basic Stats , đọc các mô tả thống kê  

Ta có trung vị (Median ) là   7 .   

Mốt -Mode  Mốt  là dữ liệu xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu , có nghĩa là điểm dữ liệu có tần số cao nhất .

Một bảng phân phối dữ liệu có thể có một hay nhiều mốt hoặc không có mốt .

Ví dụ .  Tìm mốt trong bộ dữ liệu sau .

a.  4   10   1   8   5   10   5   10

b.  4   9   1   10   1   10   4   9

c.  9   6   1    8    3   10   3   9

Lời giải .

a. Mốt là  10 , vì tần số xuất hiện nhiều nhất là 3 lần .

b. Không có mốt  , vì tần số xuất hiện của các dữ liệu đều bằng nhau .

c. Mốt là  3 và 9 . Phân phối này được gọi là nhị mốt .

1.2  Độ lệch (DEVIATION) , phương sai (VARIANCE) , Độ lệch chuẩn (STANDARD DEVIATION)

 ( Độ đo phân tán -Measures of dispersion ) 

Một dữ liệu điểm sát với giá trị trung bình sẽ có độ lệch nhỏ và ngược lại .

Ví dụ .  Điểm số của một trò chơi được ghi lại như sau  

135   ,    155  ,   185  ,  185  ,   200 ,  250   .

 Tìm giá trị trung bình , độ lệch của mỗi dữ liệu ( độ lệch thành phần ) và trung bình độ lệch .

Lời giải  

  Ví dụ  .  Chỉ số tham khảo của mặt hàng máy tính bảng như sau .

135   ,    155  ,   185  ,  185  ,   200 ,  250   .

Tìm độ lệch chuẩn .  

Lời giải .

Nhập dữ liệu vào Statistic Calculator tại Máy tính, vẽ đồ thị, ma trận, thống kê trên Blog này 

Click vào Basic Stats , đọc thống kê mô tả .

2.    PHÂN PHỐI THƯỜNG -THE NORMAL DISTRIBUTION 

Phân phối có biểu đồ gần đối xứng , dạng chuông , với đa số điểm dữ liệu ở trung tâm , được gọi là phân phối thường .

Ví dụ . xem biểu đồ phân phối sau , lưu ý đến 3 chỉ số độ đo trung tâm rất gần nhau .

Độ đo trung tâm -Measures of Centrality

  Trung bình -Mean: 16.0020

  Trung vị -Median: 16.0034

  Mode: 16.0100

2.1 Biến rời rạc – biến liên tục  Discrete versus Continous Variables

- Biến gọi là rời rạc nếu có khoảng trống giữa những đữ liệu điểm khác nhau . Ví dụ  tuổi  của trẻ em trong gia đình .

- Biến gọi là liên tục nếu thể giả sử bất kỳ giá trị nào cũng đều có thể thuộc một khoảng dữ liệu được sắp xếp . Ví dụ  chiều cao của học sinh .

Phân phối thường có 2 tính chất chính .

1.   Tần số của các điểm dữ liệu gần trung tâm ( hoặc trung bình ) là cao hơn tần số của các điểm dữ liệu xa trung tâm .

2.   Phân phối có tính đối xứng .

Vì những tính chất này nên trung bình , trung vị và mốt hầu như gần ở trung tâm phân phối .

Ví dụ .  Chiều cao của nhóm người được điều tra giả sử có thể mô tả bởi phân phối thường . Trung bình chiều cao là 66.5 inches , độ lệch chuẩn là 2.4 inches . Tìm và giải thích các khoảng biểu diễn cách đều 1 , 2 và 3 độ lệch chuẩn từ giá trị trung bình . ( xem hình )

 2.2  Xác suất và diện tích -

Tìm xác suất một biến ngẫu nhiên x  trong khoảng từ a đến b  , ta phải xác định diện tích của hình phẳng giới hạn từ a đến b . 

2.3         Phân phối chuẩn -The Standard Normal Distribution

 Phân phối chuẩn là phân phối thường có trung bình bằng 0  và độ lệch chuẩn bằng 1 . Ta còn gọi phân phối chuẩn là phân phối Z . 

Bạn có thể sử dụng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến dưới đây , nhập giá trị trung bình , độ lệch chuẩn , X1 , X2 và click Calculate . Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2) 

NHẬP DỮ LIỆU Ở ĐÂY .

Distribution Calculator

**********************************************************************

b. p( z > 1.87 )  Dùng ESBPDF Analysis

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .

 Đọc kết quả ở phần P(X > X1)

Tương tự cho các ví dụ c. và d. 

 2.4 Đổi sang phân phối Z - Converting to the Z-Distribution . 

Ví dụ .  Giả sử rằng tổng thể được bởi phân phối thường có mu = 24.6  và độ lêch chuẩn  sigma =  1.3 . Hỏi có bao nhiêu phần trăm dữ liệu trong khoảng 25.3  và  26.8 ? 

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .

 Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2)

Dùng phần mềm Distribution Calculator trực tuyến .

 Đọc kết quả ở phần P(X1 to X2)

Như vậy có xấp xỉ khoảng 24.9% dữ liệu trong khoảng 25.3 và 26.8 .

Ví dụ . Chiều cao của nhóm người Nhật được xem như có dạng phân phối thường . Trung bình chiều cao là  68 inches , độ lệch chuẩn là 4 inches . Tìm xác suất của các biến cố sau

a. cao hơn  73 inches

b.trong khoảng  60  và 75 inches .

 2.5 Biên sai - Margin of Error  ( MOE )

Ví dụ . Giả sử rằng với  độ tin cậy 90% trong chiến dịch bầu cử , hãy tìm biên sai trong các trường hợp sau

a. kích thước mẫu  n  =  275                 

b.  kích thước mẫu  n  =  750

Cách  2  :  truy cập vào link sau   http://www.relevantinsights.com/research-tools

 Nhập liệu như hình sau , đọc MOE ( Margin of Error )

Điều này nghĩa là từ cuộc điều tra mẫu có 275 người , ta có độ tin cậy khoảng 90% mà sai số khả dĩ lớn nhất trong quy mô mẫu có thể cộng thêm hay bớt đi 5% điểm dữ liệu .

truy cập vào link sau   http://www.relevantinsights.com/research-tools

 Nhập liệu như hình sau , đọc MOE ( Margin of Error )

Ví dụ . Trong cuộc điều tra 500 sinh viên đang học tại Đại học Yale , có 410 người trả lời rằng họ sẽ tốt nghiệp sau 4 năm . 

a. Tìm quy mô mẫu thỏa mãn điều kiện  tốt nghiệp sau 4 năm .

b. Với độ tin cậy 95% , tìm biên sai MOE .

c. Giải thích các số liệu thu được .

Lời giải .

a. Quy mô mẫu là   410/500 = 0.82  = 82%

b. 

c. Như vậy với độ tin cậy  95%  thì biên sai là  4.4%  , khi đó quy mô mẫu sẽ là   82%  + (-)  4.4%  . Đây là tỷ lệ sinh viên cho rằng sẽ tốt nghiệp sau 4 năm học .     

Nói cách khác là có khoảng từ 77.6%   đến  86.4%  tỷ lệ sinh viên Đại học Yale cho rằng sẽ tốt nghiệp sau 4 năm học .     

3 . HỒI QUY TUYẾN TÍNH -LINEAR REGRESSION . 

3.1 Công thức hồi quy tuyến tính .

Xét hai điểm cho trước (x1,y1)  và  (x2,y2) , giả thiết rằng x , y có quan hệ tuyến tính  , khi đó ta sẽ tìm được đường thẳng nối 2 điểm này . Quá trình tìm phương trình đường thẳng này gọi là hồi quy tuyến tính . Phương trình thỏa mãn tính chất này được gọi là mô hình toán học của quan hệ tuyến tính .

Khi các dữ liệu điểm chi ra khuynh hướng tuyến tính , ta có thể thiết lập đường thẳng xấp xỉ tốt nhất . Đường thẳng này được gọi là đường điều hóa tốt nhất ( BFL , Best-fitted Line )  .

Ví dụ :  Cho các điểm  (5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) 

a. Tìm đường điều hóa tốt nhất  (BFL)
b. Chấm tọa độ các điểm và vẽ đồ thị của BFL trên cùng mạt phẳng tọa độ  .

Lời giải .

Xét bảng số liệu sau .

Dùng công thức tính b  và  a .

  

LƯU Ý KỸ THUẬT 

Sau khi mô hình của tập hợp dữ liệu đã được tìm thấy, nó có thể được làm tròn cho mục đích báo cáo. Tuy nhiên, không sử dụng một mô hình làm tròn trong khi tính toán, và cũng không làm tròn đáp số trong quá trình tính toán, trừ khi có quy định khác. Khi mô hình được sử dụng để tìm các đáp số ngoại suy hay nội suy khác  , nên được làm tròn một cách thích hợp với yêu cầu bài toán , và khi kiểm tra lại không có độ chính xác quá sai biệt so với các xuất liệu gốc . 

 Ví dụ  * Phát tán khí thải     Luợng khí thải phát tán ở Hoa Kỳ  từ 1986  đến 1995 được cho ở bảng dưới đây

Năm	Khí thải  ( tấn )	Năm	Khí thải  ( tấn )
1986	109,199	1991	93,376
1987	108,012	1992	94,043
1988	115,849	1993	94,133
1989	103,144	1994	98,779
1990	100,650	1995	92,099

1. Sắp xếp các đữ liệu với x là số năm sau 1980 và y là khối lượng khí thải phát tán ( tấn )  . Vẽ các điểm dữ liệu này .
2. Viết phương trình đường điều hóa tốt nhất cho các điểm dữ liệu (BFL) .
3. Vẽ đồ thị của mô hình tuyến tính trên cùng hệ trục tọa độ với các điểm dữ liệu .
4. So sánh sự thay đổi của sự phát tán hằng năm và độ dốc của đường điều hóa tốt nhất BFL .

Lời giải  

a. Từ 1986  đến 1995 , ta sắp xếp lại dữ liệu của x  , chọn  x = 0  biểu diễn cho 1980 ,

Năm	Khí thải ( tấn )	Năm	Khí thải  (tấn)
6	109,199	11	93,376
7	108,012	12	94,043
8	115,849	13	94,133
9	103,144	14	98,779
10	100,650	15	92,099

Dùng CurveExpert tìm BFL . 

Nhập và vẽ các điểm dữ liệu .

b. Click vào Apply Fit  - > chọn  Linear Fit

Thêm chú thích

Click Info xem kết quả tìm b và a .

3.2  Hệ số tương quan tuyến tính .

Ta luôn luôn có thể tìm được BFL cho bất kỳ các tập điểm dữ liệu , nhưng độ chính xác là bao nhiêu để đường thẳng tìm được có thể đáp ứng cho mô hình toán học đó ? 

Nếu những điểm dữ liệu phân tán xa BFL thì đây là quan hệ tuyến tính yếu  . Ngược lại nếu chúng tập trung gần với  BFL  ta có mối quan hệ tuyến tính mạnh và  BFL có thể đại diện cho những dự báo nội suy hoặc ngoại suy tốt .

Độ mạnh của khuynh hướng tuyến tính có thể được mô tả bởi hệ số tương quan tuyến tính , ký‎ hiệu là  r  .

Một cách tổng quát  ,  r  càng gần  -1  và  1 , khuynh hướng tuyến tính giữa x và y càng mạnh khi đó  BFL có thể áp dụng cho dự báo một cách đáng tin cậy  .  Nếu  r gần  0  ,  quan hệ tuyến tinh giữa   x  và  y  yếu đi  , BFL không cho ta những kết quả dự báo tốt . 

Ví dụ  . Cho các diểm dữ liệu sau  
(5,14),(9,17),(12,16),(14,18),(17,23) .

Tìm hệ số tương quan tuyến tính  r ?

Lời giải .

Ví dụ .  * Thất nghiệp và thu nhập cá nhân  .   Bảng dữ liệu sau chỉ ra tỷ lệ thất nghiệp và tổng thu nhập cá nhân tại Hoa Kỳ theo các năm tương ứng .

1. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tổng thu nhập cá nhân nếu tỷ lệ thất nghiệp là 5% ( nội suy ).
2. Dùng hồi quy tuyến tính để dự báo tỷ lệ thất nghiệp nếu tổng thu nhập cá nhân là    $10 billion  ( 10 tỷ USD ) ( ngoại suy ) .
3. Những dự báo ở  câu (a)  và  (b)  có đáng tin cậy không ? Giải thich ?

Năm	Tỷ lệ thất nghiệp               ( % )	Tổng thu nhập cá nhân           (Tỷ  $USD )
1975	8.5	1.3
1980	7.1	2.3
1985	7.2	3.4
1990	5.6	4.8
1995	5.6	6.1
2000	4.0	8.3

Lời giải

1. Nhập và vẽ các điểm dữ liệu bằng Curve Expert  với x là tỷ lệ thất nghiệp , y là tổng thu nhập .

Linear fit để tìm các hệ số của BFL  .

c.  Với hệ số tương quan tuyến tính   r  =  -0.970438  sát với -1 , có thể kết luận những dự báo này là có độ tin cậy tốt , quan hệ tuyến tính giữa x và y có mức độ mạnh .

 Ngoài ra , vì   r  <0  , ta có thể nói rằng tổng thu nhập cá nhân  y ( total personal income )  giảm dần  khi tỷ lệ thất nghiệp  x ( unemployment rate ) gia tăng .

**************************************************************

Trần hồng Cơ 

30/10/2012

  

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.3

Bài giảng .

2. 3    TÀI CHÍNH CƠ BẢN .

         

Chủ đề

- Tiền lãi .

- Lợi tức đồng niên-Tiền góp hằng năm  (Annual yield –annuity) .

- Khoản vay (Loans) .

Ứng dụng

- Vay mượn (Borrowing) .

- Khoản góp hằng tháng (Monthly payment) .

- Kết số (Future value) .

- Thực số (Present value) .

Khái niệm cơ bản

* Tiền lãi  ( Lãi đơn -Simple –Lãi kép- Compound – Lãi trả góp -Add -on interest  )  .

* Lợi tức đồng niên – Tiền góp hằng năm – Quỹ chìm  (Annual yield  -Annuity –Sinking fund ).

* Khoản vay -Loans  ( Vay trả góp -Amortized Loan –Lịch trả góp-Amortized schedule  - APR )

1.     TIỀN LÃI - INTEREST

Số tiền ban đầu cho vay được gọi là vốn hoặc thực số . Nếu một số vốn đã được trả lại, sau đó là phần còn lại chưa thanh toán được gọi là dư nợ gốc, hoặc tài khoản có . Tổng số tiền cho vay được trả lại được gọi là kết số , bao gồm số tiền ban đầu cho vay và lợi nhuận hoặc tiền lãi của người cho vay . Tiền lãi sẽ được thanh toán phụ thuộc vào tỷ lệ lãi suất.

 1.1 Lãi đơn - Simple interest 

Lãi đơn  I  tính trên vốn P theo lãi suất định kỳ năm  r   với số năm t  là   

                                      I   =  P r t     

Kết số  FV  của vốn  P  lãi suất định kỳ năm  r   với số năm t  là   

                            FV  =  P ( 1  +  r t  )

Ví dụ .  Cửa hàng tạp hóa ABC đã vay  $340,000  lãi suất định kì năm  5.1%  trong 120  ngày để mua hàng mùa Giáng sinh . Tìm tiền lãi phải trả ?

Lời giải .

 Ta có vốn   P = 340,000  lãi suất  r  =  5.1%  = 0.051

1 năm   --- 365 ngày

t? năm ---  120 ngày

Thời gian   t  = 120 ngày  =  120/365 ( năm)

I   =  P r t  =  340,000 x 0.051 x 120/365  =  5700.8219  » $5700.82

Ví dụ . Để trả tiền nhập hàng  , Cửa hàng tạp hóa ABC đã vay $185,000 lãi suất năm 7.3%  trong 4 tháng . Tìm kết số  FV của khoản vay .

Lời giải .

Ta có vốn  P = $185,000 ,  lãi suất năm  r  =  7.3% = 0.073

1 năm   --- 12 tháng

t? năm ---  4 tháng

Thời gian  4 tháng = 4/12  năm

Áp dụng   FV  =  P ( 1  +  r t  )=  185,000 x 0.073 x 4/12 = 189501.6667

» $189501.67 .

Điều này nghĩa là cửa hàng ABC phải trả  $185,000  cộng thêm$4501.67  tiền lãi vào cuối kỳ vay 4 tháng . 

Ví dụ . Tìm số vốn cần đầu tư hiện nay ( present value -thực số ) với lãi suất  0.0575 để thu được  $1000 trong 2 năm .

Lời giải .

FV  =  P ( 1  +  r t  ) hay  
 P =  FV/ ( 1  +  r t  )

Ta có  FV  =  1000  ;  r  =   0.0575  ;  t  =  2 

hay   P =  1000 / ( 1  +  0.0575 .  2  )  = 896.86   

Vậy vốn đầu tư hiện nay ( thực số ) là  $896.86

1.2  Lãi trả góp -   Add-on  interest

Lãi đơn có kết số được chia đều thành mỗi kỳ trả bằng nhau ta gọi là lãi trả góp , kí hiệu   AoI 

Ví dụ .  Eddie mua một laptop trị giá  $1,300  ở  Wall-Mart . Anh ấy trả trước$200  và chấp thuận‎ trả góp với lãi suất 10%  lãi trả dần trong  2 năm . Tìm số tiền trả góp hằng tháng .

Lời giải .

P  =  khoản vay =  1,300  -  200  =  1,100 ($) ;

Lãi suất   r  =  0.1 ;  thời gian  t   =  2  (yrs)

Vậy  FV  =  P ( 1  +  r t  )  =  1,100 . ( 1 + 0.1 x 2 )  =  1,320 ($)

 AoI  =  FV / t  =  1,320 / 24  =  $55/ tháng .

 1.3  Công thức lãi kép -Compound Interest Formula

Tại cuối mỗi n kỳ , kết số của vốn ban đầu P tính theo lãi kép với lãi suất r định kỳ năm  và t là thời gian (năm)  . Ta có 

Trong đó

r lãi suất định kỳ năm ( the annual interest rate)

i lãi suất định kỳ (  the periodic interest rate ) = r . t

n là số kỳ  .

I  tiền lãi (  the interest) .

Ví dụ  .  Với số vốn $1,000 gửi vào tài khoản với  8% lãi kép định kỳ quí  (interest compounded quartly) . Tìm kết số ( FV ) sau 6 tháng .

 Lời giải .

 + Tính theo công thức lãi đơn :

Vì lãi kép định kỳ quí , tiền lãi sẽ được tính và tích lũy vào vốn ban đầu mỗi quí . 

Cuối quí thứ nhất ta có  , 

P  = 1,000 ,  r  =  0.08 , t = ¼

FV  =  P ( 1  +  r t  ) = 1000( 1 + 0.08x1/4 ) = 1020

Cuối quí thứ nhất ta có  ,

 P  =  1,020 , r = 0.08 , t = ¼

FV  =  P ( 1  +  r t  ) = 1020( 1 + 0.08x1/4 ) = 1040.40

+ Tính theo công thức lãi kép :

1 năm   ---   4 quí

t? năm  ---   1 quí   =>  t  = ¼  năm

Lãi suất định kỳ  i  =  r . t  = 0.08 x ¼  =  0.02 , 

1 kỳ ( quí )   ---   3 tháng

n kỳ ?           ---   6 tháng  =>  n  = 2  kỳ

áp dụng công thức lãi kép 

Ví dụ .

a. Tìm kết số  FV  của khoản vốn  $2,000 gửi vào tài khoản lãi suất 10.3% định kỳ ngày trong 15 năm .

b. Tìm tiền lãi thu được .

Lời giải .

Ví dụ .

a. Tìm kết số  FV  của khoản vốn  $2,500 gửi vào tài khoản lãi suất 10.3% định kỳ ngày trong 15 năm .

b. Tìm tiền lãi thu được .

Lời giải .

a. Lãi kép định kỳ ngày  : 

P  = 2,500 ,  r  = 10.3%  =  0.103 ,

1 năm     ---  365 ngày

t ? năm   ---    1 ngày

thời gian  t = 1/365   

Lãi suất định kỳ  i  =  r . t  =  0.103 x( 1/365 )

365 kỳ (ngày)  ---  1  năm

n kỳ ?              ---  15 năm  =>  n  = 15 x 365 =  5,475   kỳ

áp dụng công thức lãi kép 

b.  Vốn là  $2,500 và kết số FV  là$11,717.37  , vậy tiền lãi thu được = Kết số (FV)  -  Vốn (P)   =  11,717.37  - 2,500  = 9,217.37 ($)

Dưới đây là bảng so sánh từng năm giữa lãi đơn , lãi kép định kỳ năm , quí , tháng và ngày với cùng một khoản vốn $1000 , cùng lãi suất 10% và cùng kỳ 10 năm  .

Biểu đồ bậc thang 

2.  LỢI TỨC ĐỒNG NIÊN – TIỀN GÓP HẰNG NĂM                 ( ANNUAL YIELD  -  ANNUITY  )

  2.1 Lợi tức đồng niên - Annual yield

Lợi tức đồng niên của khoản tiền gửi lãi suất kép là lãi suất đơn có cùng một kết số với lãi suất kép đó thu được trong 1 năm . Tìm lợi tức đồng niên bằng cách giải phương trình sau tìm r .

Ví dụ .  Tìm lợi tức đồng niên của $2500 gửi vào tài khoản lãi kép 10.3%  định kỳ ngày trong 15 năm .

Lời giải .

Vậy lợi tức đồng niên là 10.847%

Ví dụ .  Tìm lợi tức đồng niên tương ứng với lãi suất ấn định là 8.4%  lãi kép định kỳ tháng (compounded monthly) .

Lời giải .

Tính lãi kép trong 1 năm 

Vậy lợi tức đồng niên là 8.73%

2.2 Tiền góp hằng năm - Annuity   

 Tiền góp hằng năm là dãy những khoản góp đều đặn bằng nhau vào tài khoản trong đó mỗi khoản đóng nhận một lãi suất kép .

Ví dụ .  Đóng $50 hàng tháng với lãi suất 10% .

Tính kết số thu được trong 40 năm với :

a. Lãi đơn .

b. Lãi kép định kỳ tháng . 

Lời giải .

a.    Lãi đơn : $50 x tháng x 40 năm =$24,000

b.   Lãi kép :

 t = 1/12 

i = r. t  =  0.1x 1/12 = 0.0083

n = 40 x 12 = 480 kỳ

* Kết số FV  của tiền góp hằng năm thông thường với khoản góp  pymt = $50 , lãi suất định kỳ  i = 0.1/12 , và  n = 480 lần đóng là :   

$ 316,204  

* Kết số FV  của tiền góp hằng năm đáo hạn với khoản góp pymt = 50$ , lãi suất định kỳ  i = 0.1/12 , và  n = 480 lần đóng là :     
$318,839

2.3  Quỹ chìm - Sinking Fund    là khoản góp hằng năm được tiết kiệm dùng vào mục đích cá nhân nào đó .  

Ví dụ .  Jack và Anna muốn lập một quỹ chìm dành cho việc học tập của đứa con của họ . Biết quỹ này có tài khoản tiền góp hằng năm thông thường , để có ngân quỹ $30,000 trong 18 năm , lãi suất 9¼ %  lãi kép định kỳ 2 tuần , họ phải đóng tiền góp mỗi kỳ là bao nhiêu ?  

Lời giải .

Từ công thức    

tiền góp mỗi kỳ ( 2 tuần ) là   $24.9950 ~ $25  . 

Ví dụ .  Lấy ví dụ như trên  . Hãy tính

a. Kết số thực của quỹ chìm .

b. Số tiền thực đóng của Jack và Anna  .

c. Tổng tiền lãi của quỹ chìm .

Lời giải .

a. Như đã biết   pymt  = $25  ,

  i  = r.t  =  0.0925´1/26 ;  n =  18 ´ 26 = 468 

Từ công thức    

Kết số thực của quỹ chìm là $30,000.95

b. Số tiền thực đóng của Jack và Anna là :

468 kỳ x $25/kỳ  =  $11,700 .

c. Tổng tiền lãi của quỹ chìm = FV  - Số tiền thực đóng 
= $30,005.95 –$11,700  =  $18,305.95 

2.4         Tiền góp hằng năm hoãn thuế - 

Tax-Deferred Annuity  ( TDA )  

Là khoản tiền góp  hằng năm dành cho hưu trí .

Ví dụ .  Paul .K  vừa tìm được công việc mới  , anh ta muốn lập một quỹ hưu trí TDA . Paul mở một tài khoản tiền góp hàng năm thông thường bằng cách đóng $200 / tháng , lãi suất 8¾ %  , lãi kép định kỳ tháng .

a.    Tìm kết số FV của quỹ TDA  trong  35 năm sau .

b.   Tìm tiền lãi của quỹ  TDA này  .

Lời giải. 

kết số FV của quỹ TDA  trong  35 năm sau là  $552539.95 ~ $552,540

b .Tiền lãi của quỹ  TDA này =  Kết số FV  -  số tiền thực đóng  =

$552,540  -$200 x 420  = $468,540 

  

  3.  KHOẢN VAY - LOANS  

  3.1 Vay trả góp - Amortized  Loan   là khoản vay mà vốn vay và lãi được trả thành nhiều đợt định kỳ với một khoản bằng nhau .  

Công thức vay trả góp lãi đơn - Simple Interest Amortized Loan Formula 

Trong đó pymt là khoản trả góp ,  i là lãi suất định kỳ  (periodic interest rate )  ,

 n   là số kỳ  (number of periods ) ,

 P là thực số ( Present Value - PV)  hay là tổng món nợ .

Công thức này dùng để xác định 1 trong số 4 tham số  { pymt , i, n , P } nếu có 3 tham số kia  .

Ví dụ .  George mua chiếc xe hơi trị giá  $13,518.77 . Anh ta trả trước$1,000 và vay trả góp lãi đơn 4-năm  từ US Bank  với lãi suất 12% định kỳ tháng . Tìm các khoản sau

a.    Khoản góp phải trả hằng tháng .

b.   Tổng tiền lãi của khoản vay .

Lời giải  .

a.   Các tham số cho trước :

P  =  khoản vốn vay =  13,518.77  - 1,000 =  12,518.77  $

 r  = 12%  =  0.12 ;  i  = r.t  =   0.12 x 1/12  

 n  =  4 x 12 ( kỳ )

Tìm  pymt ?

Từ công thức 

Khoản góp phải trả hằng tháng là  $329.67 (  gồm vốn vay và lãi - principal and interest ) 

b.  George  trả 48 kỳ với  $ 329.67 / kỳ  

Nên tổng số tiền phải trả là  :  48 x 329.67 $=$15824.16

Tổng tiền lãi của khoản vay  = tổng số tiền phải trả – vốn vay  

=  $15824.16  -$12,518.77 

=  $3,305.39

  

3.2 Lịch trả góp - Amortization   Schedule  .  Mỗi khoản trả góp bao gồm vốn vay và lãi . Lịch trả góp là một bảng kê các kỳ trả góp trong đó chỉ ra tiền vốn vay , phần lãi và số tiền còn lại phải trả sau mỗi kỳ hoàn tất trả góp ( số dư nợ ).

Ví dụ .  Với ví dụ như trên ta thiết lập lịch trả góp cho khoản vốn vay trả góp lãi đơn 4-năm  của George trong 4 tháng đầu tiên .

Lời giải .

  

Khoản vốn vay là  $12,518.77 , trả góp trong 48 tháng . Tiền góp tháng là$329.67 .

Ta có   r  =  12%  =  0.12 ,  t  =  1 tháng  = 1/12 (năm) ,

P =12,518.77  .

*Kỳ 1 : Tiền lãi đơn   I  =  Prt  =  12,518.77 x 0.12 x 1/12 = 125.1877 ~ $125.19

Trả vốn kỳ 1 :  $329.67  -$125.19 = $204.48

( vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,518.77  -$204.48 =  $12,314.29

*Kỳ  2 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  12,314.29 x 0.12 x 1/12 = 123.1429 ~ $123.14

Trả vốn kỳ 2 :  $329.67  -$123.14 = $206.53

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,314.29 -$206.53 =  $12,107.76

*Kỳ  3 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  12,107.76  x 0.12 x 1/12 = 121.0776 ~ $121.08

Trả vốn kỳ 3 :  $329.67  -$121.08 = $208.59

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,107.76  -$208.59 =  $11899.17

*Kỳ  4 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  11899.17  x 0.12 x 1/12 = 118.9917 ~ $119

Trả vốn kỳ 4 :  $329.67  - 119$ = $210.67

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$11899.17   -$210.67 =  $11688.5

Dưới đây là một đoạn Maple code , tác giả đã soạn thảo cho việc tính khoản tiền góp và lịch trả góp  ( ver 6.0 )

> restart; with(finance);

> eqPRESENTVALUE:=P*(1+i)^n=Pymt*((1+i)^n-1)/i:solve(eqPRESENTVALUE,{Pymt});n:=48;i:=0.12/12;P:=12518.77;; ;PV:=solve(eqPRESENTVALUE,{Pymt});

Hướng dẫn : 
Trong phần này vốn vay  P = 12518.77 , số kỳ  n = 48 ( 4 năm , mỗi năm 12 kỳ ) , lãi suất định kỳ  i = r.t  = 0.12 /12  
 ta tìm được pymt = 329.667

Hướng dẫn : 
Nhập khoản vốn  vay  P = 12518.77 khoản
khoản tiền góp 329.667 và  i = r.t  = 0.12 /12 
vào đoạn code sau



> A:= amortization(12518.77,329.667, 0.12/12);
> amortization_table[n, Payment, Interest, Principal, Balance] = matrix(A[1]);

Đoạn code này sẽ tính kỳ và tạo lịch trả góp , phần số liệu trong khung đỏ chỉ ra lịch trả góp của George trong 4 tháng đầu tiên .

Bạn có thể dùng công cụ trực tuyến tại  


http://www.javascriptsource.com/repository/javascripts/2003/03/111241/interest.html

Nhập số liệu như hình sau và click Compute .

hoặc truy cập :


http://www.javascriptsource.com/repository/javascripts/1999/02/26/JS_17387/script17387.html

Nhập số liệu như hình sau và Click  Monthly Payment để biết tiền góp hằng tháng ; Click Amortize This  để xem lịch trả góp .

Kết quả như sau

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

 Albert Einstein .