TOÁN THỰC HÀNH CHƯƠNG 2 . 2.1

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.1

Chương 2 .  XÁC SUẤT ,  THỐNG KÊ  VÀ  CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG  .

Bài giảng

2.1         XÁC SUẤT ( PROBABILITY ) -  ĐẠI LƯỢNG TỔ HỢP ( COMBINATORICS ) -  GIÁ TRỊ KỲ VỌNG  ( EXPECTED  VALUE )  

         

Chủ đề 

- Khái niệm cơ bản về xác suất   .

- Luật xác suất  .

- Đại lượng tổ hợp , giá trị kỳ vọng .

- Xác suất có điều kiện .

Ứng dụng

- Tung súc sắc .

- Khuyết tật trong sản xuất  .

- Xổ số .

- Chơi bài .

- Tung đồng xu .

Khái niệm cơ bản

*  Khaí  niệm  ( Thực nghiệm - Experiment – Biến cố – Luật số lớn - Law of large number )  .

* Luật xác suất ( Biến cố không liên quan - Mutually exclusive events )

* Đại lượng tổ hợp - Combinatorics ( Giá trị kỳ vọng -Expected value )

* Xác suất có điều kiện - Conditional probability ( Luật nhân xác suất -Product rule –Biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập -Dependent and independent events – Sơ đồ cây - Tree diagram)

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

 1. Khái niệm cơ bản về xác suất .

* Thực nghiệm :  là quá trình thu được từ một sự quan sát hiện tượng nào đó .

* Không gian mẫu - Sample space : kí hiệu  S  gồm các thu hoạch khả dĩ của thực nghiệm .

* Biến cố  : là tập con  E  của không gian mẫu S .

Ví dụ .

Thực nghiệm   ( experiment  ) tung súc sắc  .

Thu hoạch khả dĩ ( possible outcomes ) của con súc sắc đơn là các nút  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  .

Không gian mẫu  ( sample space )  là  S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  }

Một số các biến cố khả dĩ như sau :

E1 = {3}  “ xuất hiện nút 3  ”

E2 = {2,4,6}  “ xuất hiện các nút chẵn ”

E3 = {1,3,5}  “xuất hiện các nút lẻ ”

…

 Xác suất của biến cố - Probability of an event 

Ví dụ .  Tung con súc sắc đồng chất  . Tìm :

a.    Xác suất xẩy ra nút 5 .

b.   Xác suất xẩy ra nút nhỏ hơn 5  .

c.    Xác suất xẩy ra nút lớn hơn 4 .

Lời giải .

a. Thực nghiệm   ( experiment  ) tung súc sắc  .

Thu hoạch khả dĩ ( possible outcomes ) của con súc sắc đơn là các nút  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  .

Không gian mẫu  ( sample space )  S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6  }  ;  n(S)  = 6

 Luật số lớn - Law  of large numbers 

Nếu thực nghiệm được lập lại rất nhiều lần thì tần suất tương đối của một thu hoạch có xu hướng tiến dần về xác suất của thu hoạch đó  . 

  2. Luật xác suất  .

  Luật xác suất   1  

Hai biến cố không thể xẩy ra đồng thời được gọi là biến cố không liên quan – nghĩa là phần giao của 2 biến cố này là  Æ .

Ví dụ .  Tung con súc sắc đồng chất  .  

Gọi  E  là biến cố “ xuất hiện nút chẵn ” .

Gọi  O  là biến cố “ xuất hiện nút lẻ ” .

Gọi G3 là biến cố “ xuất hiện nút lớn hơn 3 ” .

a. E và G3 có phải là biến cố không liên quan ?

b. E và O có phải là biến cố không liên quan ?

Lời giải .

a.    E  = {2,4,6}  ;  G3  = {4,5,6}  =>  E Ç G3  = {4,6}  ¹  Æ

    E và G3 không phải là biến cố không liên quan .

b.   E  = {2,4,6}  ;   O  = {1,3,5}  =>  E Ç O  =   Æ

    E và O  là biến cố không liên quan .

  Luật xác suất   2 

Ví dụ . Công ty   E-Digital  Ltd   sản xuất các mặt hàng TV ,  DVD  .  Một cuộc khảo sát về các sản phẩm gần đây chỉ ra rằng  có  5% lỗi khuyết tật của mặt hàng TV , 3% của DVD , và  7% lỗi ít nhất một trong hai mặt hàng này  . Tìm xác suất của các sản phẩm của  E-Digital trong các trường hợp :

a.    Lỗi cả hai sản phẩm .

b.   Không có thuộc cả hai sản phẩm .

Lời giải .

Kí hiệu  P(T)  là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV .

 P(D) là xác suất khuyết tật của sản phẩm  DVD .

P(TUD) là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV hoặc DVD .

P(TÇD) là xác suất khuyết tật của sản phẩm TV và DVD .

 

Bài toán được mô hình hóa bằng giản đồ Venn như sau 

3.    Các đại lượng tổ hợp ( COMBINATORICS ) -  Giá trị kỳ vọng ( EXPECTED  VALUE )  

 Liên quan giữa xác suất và các đại lượng tổ hợp .

Tìm xác suất bao gồm việc tìm số lần các thu hoạch khả dĩ của biến cố  n(E) ( bản số của tập E )  và số các thu hoạch khả dĩ của không gian mẫu n (S) ( bản số của tập S )  . Ta thường dùng các định luật xác suất và các đại lượng tổ hợp như chỉnh hợp , tổ hợp … để tính số lần các thu hoạch khả dĩ  này .

Ví dụ .  Georgia , Texas, California và Maryland là 4 tiểu bang của Hoa Kỳ thường tổ chức các đợt xổ số  6 / 44 ;  người tham gia được chọn 6 số bất kỳ từ 1 đến 44  . Nếu 6 số này khớp với 6 số được xổ từ lồng quay thì người chơi sẽ thắng giải . Hãy tìm xác suất thắng cuộc .

Lời giải .

Gọi E là biến cố thắng giải  , vì chỉ có 1 giải duy nhất nên  

n(E) = 1 .  Chọn 6 số bất kỳ từ 1 đến 44 , không có thứ tự nên ta sẽ dùng công thức tổ hợp . Số cách chọn 

Giá trị kỳ vọng - Expected  Value 

Giá trị kỳ vọng   Ev của thực nghiệm được tính bởi 

Ví dụ . Phân tích thông tin bán hàng , một thương gia tìm thấy tiền hoa hồng thu được hằng tuần có trong bảng xác suất sau  . Tính kỳ vọng thu được tiền hoa hồng hằng tuần .

Dùng công thức tính kỳ vọng ta có   Ev  =  $240   . Như vậy thương gia này có thể kỳ vọng rằng trong tương lai sẽ thu được một khoản tiền hoa hồng trung bình là  $240 / tuần . 

4 .   Xác suất có điều kiện ( CONDITIONAL PROBABILITY )  - Luật nhân xác suất ( THE PRODUCT RULE )  - Biến cố phụ thuộc và biến cố độc lập ( DEPENDENT AND INDEPENDENT EVENTS )   

* Xác suất của biến cố A với điều kiện có biến cố B kí hiệu là  P(A|B)  được cho bởi công thức 

Ví dụ .

Trong cuộc điều tra thực nghiệm liên quan đến tác hại của thuốc lá , 600 người được hỏi ý kiến của họ về chất nicotine đối với sức khỏe . Những câu trả lời của họ được chỉ ra theo số liệu trong bảng sau   

Tính xác suất của các hiện tượng

a.    Câu trả lời là "có"  ; Câu trả lời là "không" .

b.   Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong giới nữ ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong giới nam .

c.    Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong số những người nói có ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong số những người nói có .

d.   Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong toàn thể ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong toàn thể .

Lời giải .

a.Câu trả lời là "có"  ; Câu trả lời là "không" .

* Xác suất câu trả lời “có ”  là  P(có) = n(có) / n(S)  = 418/600 » 0.70 = 70%

* Xác suất câu trả lời “không”   là P( không) = n(không) / n(S)  = 140/600 » 0.23 = 23%

b. Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong giới nữ ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong giới nam .

Từ số liệu

Nữ

256

45

19

320

* Xác suất là “có”từ một người nữ trong giới nữ   là P(có|nữ) = n(cóÇnữ) / n(nữ)  = 256/320 » 0.80 = 80%

* Xác suất là “có”từ một người nam trong giới nam   là  P(có|nam) = n(cóÇnam) / n(nam)  = 162/280 » 0.58 = 58%

Nam

162

95

23

280

Nói cách khác có 58% nam trả lời “có” và  80% nữ trả lời “có” trong cuộc khảo sát , điều này chỉ ra rằng nam và nữ giới không cùng y kiến về tác hại của khói thuốc lá .

c.Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong số những người nói có ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong số những người nói có .

* Xác suất của câu trả lời từ người nữ nói “có”  trong số người nói  “có” , là  : P(nữ|có) =  n(nữÇcó) / n(có)  = 256 / 418 » 0.61 = 61% . Nghĩa là xấp xỉ   61%  là nữ nói “có” trong số người nói “có” .

* Xác suất của câu trả lời từ người nam nói “có”  trong số người nói  “có” , là : P(nam|có) =  n(namÇcó) / n(có)  = 162 / 418 » 0.39 = 39% . Nghĩa là xấp xỉ   39%  là nam nói “có” trong số người nói “có” .

d.Câu trả lời là "có" từ một người nữ trong toàn thể ; Câu trả lời là "có" từ người nam trong toàn thể .

* Xác suất của câu trả lời từ người nam nói “có”  trong toàn thể  là  P(có|nam) = n(cóÇnam) / n(S)  = 162/600 » 0.27 = 27%  ( không điều kiện non-conditional)

* Xác suất của câu trả lời từ người nữ nói “có”  trong toàn thể  P(có|nữ) = n(cóÇnữ) / n(S)  = 256/600 » 0.42 = 42% (không điều kiện non-conditional)

 Luật nhân xác suất - The  Product  Rule 

Với mọi biến cố  A và B bất kỳ  , xác suất của biến cố A và B là 

 Sơ đồ cây - Tree Diagram

Ta thường dùng sơ đồ cây để giải các bài toán cụ thể , có thể hình dung như sau  

Ví dụ .  Hai lá bài được rút ra từ bộ bài 52 lá .  Tính xác suất để có 2 con cơ .

Lời giải .

Ta xét sơ đồ cây sau 

Ở nhánh thứ nhất , xác suất để có Lá 1- Cơ

là  P(Lá 1- Cơ) = 13/52 . 

Nhánh thứ hai , xác suất để có Lá 2- Cơ  là

P(Lá 2- Cơ| Lá 1-Cơ) = 12/51 .

Xác suất cần tìm là P(Lá 1 - Cơ  và  Lá 2 –Cơ ) : 

Theo công thức nhân xác suất  ,

P(Lá 1 -Cơ và Lá 2 -Cơ) =

P(Lá 2 -Cơ | Lá 1 -Cơ) x P( Lá 1-Cơ)   = 12/51 x 13/52 . 

Ví dụ .  Có 2 túi I và II . Túi I có 3 bi đỏ , 2 bi vàng . Túi II có 1 bi đỏ , 4 bi vàng . Chọn một bi trong một túi bằng cách tung đồng xu . Tính xác suất để có một bi vàng .

Lời giải .

Ta phân tích sơ đồ cây sau 

Ở túi I  , xác suất để có 1 bi vàng  

là  P1(vàng) = ½ .  2/5

Ở túi II  , xác suất để có 1 bi vàng 

là  P2(vàng) = ½ .  4/5

Xác suất để có bi vàng là  P(vàng) = P1(vàng) + P2(vàng) = 3/5

*************************************************

Trần hồng Cơ 

10/10/2012

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 
 Albert Einstein .