VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.5 Phương trình chuyển động một chiều

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.5   Phương trình chuyển động một chiều   




Gia tốc hằng 


Nội dung của phần này nói về phương trình chuyển động một chiều với tính chất đặc trưng là có gia tốc hằng  ( còn gọi là chuyển động đều )  .Các phương trình chuyển động này chỉ có giá trị khi gia tốc là không đổi và chuyển động vật thể được giới hạn trên một đường thẳng , mặc dù điều này hoàn toàn lý tưởng và có tính chất phi thực tế . Chúng ta đang sống trong không gian ba chiều chuyển động nên thật là chính xác khi phát biểu rằng : không bao giờ có đối tượng nào đã chuyển động chỉ theo một đường thẳng với gia tốc không đổi ở bất cứ nơi nào đó trong vũ trụ vào bất cứ thời điểm nào từ quá khứ , hiện tại và ngay cả đến tương lai -



Như vậy những vấn đề được đưa ra trong phần này có cần thiết không ?  Thật ra trong nhiều trường hợp, rất hữu ích khi giả định rằng một đối tượng đã hoặc sẽ chuyển động dọc theo một con đường thẳng nào đó ( một cách cơ bản )  và với một gia tốc nào đó là gần như không đổi.  Điều đó có nghĩa là , bất kỳ độ lệch nào ra khỏi chuyển động lý tưởng này đều có thể được bỏ qua . Chuyển động dọc theo một con đường cong cũng có thể xem là một chiều một cách hiệu quả , nếu chỉ có một bậc tự do cho các đối tượng liên quan.

Một con đường có thể xoắn lượn theo mọi hướng, nhưng những chiếc xe lái xe trên đó chỉ có một bậc tự do - tự do lái xe theo một hướng hoặc hướng ngược lại. Điều này không phải là không tương đồng với chuyển động giới hạn trên một đường thẳng. Việc xấp xỉ tình huống thực tế với các mô hình dựa trên các tình huống lý tưởng là phương thức thường được thực hiện trong vật lý . Cũng cần lưu ý rằng với các kỹ thuật xấp xỉ hữu ích như vậy chúng ta sẽ sử dụng nó nhiều lần hơn nữa cho các phần sau này  .



Mục tiêu của chúng ta trong phần này là thu được những phương trình mới có thể được sử dụng để mô tả chuyển động của một đối tượng theo ba biến động học của nó: vận tốc, chuyển vị, và thời gian. Các biến này có thể ghép từng cặp  : vận tốc-thời gian, dịch chuyển-thời gian và vận tốc-dịch chuyển , và cũng theo thứ tự đó , chúng ta sẽ gọi là phương trình thứ nhất , thứ hai và thứ ba của chuyển động .

Với chuyển động đang xét trên một đường thẳng, ký hiệu x sẽ được dùng để chỉ về dịch chuyển và dấu + hay  - sẽ quy định về hướng (những đại lượng dương chỉ theo hướng  + x  trong khi đại lượng âm chỉ theo hướng  - x ).  Do các định luật vật lý là đẳng hướng ; nghĩa là, chúng độc lập với cách định hướng của hệ tọa độ , nên việc chọn hướng nào để phù hợp là tùy ý , điều này không quan trọng.



Phương trình chuyển động thứ nhất  : vận tốc-thời gian

Mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian là một trong những quan hệ đơn giản trong quá trình chuyển động thẳng gia tốc hằng ( chuyển động thẳng đều ) . Gia tốc không đổi kéo theo của sự thay đổi đều của vận tốc.
Bắt đầu từ định nghĩa của gia tốc, ta tìm vận tốc v là hàm số theo biến thời gian t .
$a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_{0}}{\Delta t}$
Ta thu được  $v= v_{0}+a.\Delta t$   [ phương trình thứ nhất ]
Ký hiệu $v_{0}$ được gọi là vận tốc ban đầu của đối tượng chuyển động .

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 $ thì phương trình thứ nhất có dạng
 $v= v_{0}+a. t$  hay   $v= u +a. t$  với  $u=v_{0}$

Nhưng khái niệm về vận tốc ban đầu có vẻ không được rõ lắm . Thật là ngây thơ khi xét đến vận tốc đầu của trường hợp một thiên thạch di chuyển trong vũ trụ . Vận tốc ban đầu của nó là bao nhiêu ? Và nếu $v_{0}$  là vận tốc đầu tiên thì bài toán đặt ra trước khi nó bắt đầu lại  càng khó khăn  . Ta có thể nói gì về vận tốc của một thiên thạch khi mới phát sinh ? Không có cách nào để trả lời câu hỏi này.

Một định nghĩa tốt hơn về vận tốc ban đầu mà chúng ta có thể đưa ra là vận tốc mà một đối tượng di chuyển có được khi nó bắt đầu trở nên quan trọng trong một vấn đề nào đó . Nếu cho rằng thiên thạch được phát hiện trong không gian và vấn đề là đã xác định quỹ đạo của nó, thì vận tốc ban đầu sẽ là vận tốc tại thời điểm nó được quan sát thấy. Nhưng nếu vấn đề là để xác định vận tốc của nó vào các tác động, thì vận tốc ban đầu của nó nhiều khả năng sẽ là tốc độ nó có khi nó đi vào bầu khí quyển của trái đất. Trong trường hợp này, câu trả lời cho "vận tốc ban đầu là gì?" là "Nó phụ thuộc khi xem xét ". Điều này hóa ra lại là câu trả lời cho rất nhiều câu hỏi.

Ký hiệu $v$ là vận tốc tại thời điểm sau vận tốc ban đầu một khoảng thời gian $Δ t$ . Nó thường được gọi là vận tốc cuối nhưng điều này không làm cho nó thành "vận tốc cuối cùng" của một đối tượng chuyển động . Lấy trường hợp của thiên thạch mà ta đã nói đến ở trên . Vận tốc gì sẽ được thể hiện bằng các ký hiệu $v$ ? Nếu bạn đã từng chú ý, thì nên hình dung trước những câu trả lời : Đó cũng là sự phụ thuộc. $v$ có thể là vận tốc của thiên thạch khi nó đi qua mặt trăng, khi thiên thạch đi vào bầu khí quyển của trái đất, hoặc là khi nó va chạm bề mặt trái đất. $v$ cũng có thể là vận tốc của thiên thạch khi nó nằm ở dưới đáy của một miệng núi lửa . Nhưng $v$  có phải là vận tốc cuối cùng hay không ? Đây cũng là một vấn đề tùy thuộc vào người quan sát .




Thành phần cuối của phương trình này $a. Δ t$  là sự thay đổi của vận tốc từ giá trị ban đầu. Gia tốc $a$ chỉ ra mức độ thay đổi của vận tốc và $Δ t$ là khoảng thời gian kể từ khi đối tượng đã có vận tốc ban đầu của nó $v _{0}$ . Mức độ này nhân với thời gian bằng với sự thay đổi. Vì vậy, nếu một đối tượng đã được đẩy mạnh ở mức $a  (m / s ^2)$ , sau  $Δ t (s)$  nó sẽ được di chuyển  $a. Δ t ( m / s)$  nhanh hơn so với ban đầu. Nếu nó bắt đầu với vận tốc $v_{0}( m / s)$ , vận tốc của nó sau $Δ t (s)$ tăng tốc sẽ là ...

$v_{0}( m / s)$  + $a. Δ t ( m / s)$ = $v ( m / s)$

Quan hệ giữa vận tốc và thời gian được biểu diễn qua phương trình thứ nhất rút gọn
  $v= u +a. t$ hoặc biểu đồ vận tốc-thời gian . Việc đọc thông tin từ các biểu đồ này để biết được đặc tính chuyển động và tính toán các yếu tố vật lý là điều rất cần thiết .

Biểu đồ trên đây mô tả quan hệ vận tốc-thời gian chỉ rõ trạng thái tăng , giảm tốc và không gia tốc  . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDEFGH , bạn hãy chỉ ra những đoạn nào chỉ về :
- Tăng tốc , giảm tốc và không gia tốc .
- Thời gian tăng tốc .
- Vận tốc lúc 3s , 7s , 9s .
- Vận tốc cuối là bao nhiêu ?



Phương trình chuyển động thứ hai  : dịch chuyển-thời gian

Dịch chuyển của một đối tượng chuyển động tỷ lệ thuận với cả vận tốc và thời gian. Di chuyển nhanh hơn - vận tốc lớn hơn ( hoặc di chuyển lâu hơn-thời gian nhiều hơn ) thì sẽ đi xa hơn . Gia tốc kết hợp hai tình huống đơn giản này. Bắt đầu từ định nghĩa của vận tốc
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x-x_{0}}{\Delta t}$
Vậy  $x-x_{0}=\bar{v}.\Delta t$  hay  $x = x_{0} + \bar{v}.\Delta t$
Khi gia tốc là không đổi, vận tốc sẽ thay đổi đều từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối cùng của nó và vận tốc trung bình sẽ là.
$\bar{v}  = ½ .( v  +  v_{0} )$    [ vận tốc trung bình ]
Mặt khác từ phương trình chuyển động thứ nhất $v= v_{0}+a. \Delta t$
Thay vào vận tốc trung bình ta sẽ có
$\bar{v}  = ½ .( v_{0}+a. \Delta t +  v_{0} ) = v_{0} + ½. a. \Delta t  $
Công thức dịch chuyển $x = x_{0} + \bar{v}.\Delta t$  thành
$x = x_{0} +(v_{0} + ½ .a. \Delta t).\Delta t$
Hay
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$    [ phương trình thứ hai  ]
Trong đó $ x_{0}$  là dịch chuyển ban đầu

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 ,  x_{0}=0 $   và   $u=v_{0}$  thì phương trình thứ hai có dạng
$x = u. t + ½ .a. t^2.$    ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$     ( tính theo vận tốc sau v )
$x = (u+v).t /2$

Mặc dù những ký hiệu vận tốc trong hai phương trình có thể trông khác nhau, nhưng chúng thực sự biểu diễn cho cùng một đại lượng. Trường hợp đặc biệt , nếu không có gia tốc, thì vận tốc là hằng , có nghĩa là vận tốc ban đầu , vận tốc cuối bằng với vận tốc trung bình . Thành phần chứa gia tốc trong phương trình thứ nhất và thứ hai là một sự điều chỉnh đối với các phương trình có vận tốc hằng một đại lượng bổ sung mô tả thực nghiệm là vận tốc thay đổi. Gia tốc dương sẽ làm tăng dịch chuyển và ngược lại gia tốc âm sẽ làm giảm dịch chuyển .

Tương tự mối quan hệ giữa dịch chuyển và thời gian được biểu diễn qua phương trình thứ hai rút gọn
$x = u. t + ½ .a. t^2.$    ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$     ( tính theo vận tốc sau v )
$x = (u+v).t /2$
 hoặc biểu đồ vận tốc-thời gian .

Biểu đồ trên đây mô tả quan hệ dịch chuyển-thời gian chỉ rõ sự tăng giảm hoặc không dịch chuyển của đối tượng được quan sát . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDE , bạn hãy cho biết những thông tin  :
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AB , BC , CD , DE .
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AC , BD , AD , BE .
- Vận tốc trung bình trong  1 phút , 3phút , 4 phút , 5 phút .
- Vận tốc trung bình trên đoạn AC , AD , BC , BD .
- Thời gian nghỉ của đối tượng .
- Trên đoạn nào đối tượng  có chuyển động ngược chiều .
- Trên đoạn nào đối tượng có tốc độ lớn nhất , nhỏ nhất .


Phương trình chuyển động thứ ba  : vận tóc-dịch chuyển

Hai phương trình chuyển động đầu tiên mô tả một biến động học như là một hàm của thời gian. Về bản chất chúng ta cần lưu ý các quan hệ sau
- Vận tốc tỷ lệ thuận với thời gian khi gia tốc là hằng số  $v= v_{0}+a.\Delta t$ .
- Dịch chuyển  tỷ lệ thuận với bình phương thời gian khi gia tốc là hằng số $x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$  .
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xây dựng một mối quan hệ giữa dịch chuyển và vận tốc . Có thể phát biểu rằng :
- Dịch chuyển tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc khi gia tốc là hằng số .

Để thực hiện điều này ta kết hợp hai phương trình đầu tiên với nhau bằng cách khử đi đại lượng thời gian $\Delta t$. Từ phương trình chuyển động thứ nhất $v= v_{0}+a.\Delta t$  tìm được
$\Delta t =( v - v_{0})/a$ . thay vào phương trình chuyển động thứ hai , ta sẽ có
$x = x_{0} +v_{0}.( v - v_{0})/a + ½ .a. ( v - v_{0})^2/a^2$  .
hay  $2.a.(x - x_{0}) = 2.v_{0}.( v - v_{0})+ ( v - v_{0})^2$
Rút gọn vế phải đẳng thức trên
$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$   [ phương trình thứ ba  ]

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 ,  x_{0}=0 $   và   $u=v_{0}$  thì phương trình thứ ba có dạng
$2.a.x = v^2 - u^2$
hay   $v^2 = u^2 + 2.a.x$

Thiết lập phương trình chuyển động từ phép tính vi tích phân

Tuy phép tính vi tích phân là một chủ đề khá phức tạp trong toán học cao cấp nhưng việc dẫn xuất từ đó để hình thành hai trong ba phương trình chuyển động đơn giản hơn nhiều .
(i)  Theo định nghĩa, gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian
 $\frac{dv}{dt}=a$
Hãy bắt đầu từ định nghĩa đó . Thay vì vi phân vận tốc để tìm gia tốc, chúng ta sẽ tích phân gia tốc để tìm vận tốc.
Ta có  $dv=a.dt$
Tích phân hai vế  $\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{t_{0}}^{t}adt$
Hay  $v-v_{0}=a(t-t_{0})=a\Delta t$
 Điều này mang lại cho chúng ta phương trình vận tốc-thời gian
$v= v_{0}+a.\Delta t$   [ phương trình thứ nhất ]

(ii)  Một lần nữa, theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm cấp 1 của dịch chuyển đối với thời gian
$\frac{dx}{dt}=v$
 Dựa vào định nghĩa này . Thay vì vi phân dịch chuyển để tìm vận tốc, tích phân vận tốc ta thu được dịch chuyển .
Ta có   $dx=v.dt$
Tích phân hai vế  $\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t}vdt$
Thay  $v= v_{0}+a.\Delta t = v_{0}+a.(t-t_{0})$   từ phương trình thứ nhất
Do đó $x-x_{0}=\int_{t_{0}}^{t}[v_{0}+a.(t-t_{0})]dt$

Điều này mang lại cho chúng ta những phương trình dịch chuyển-thời gian với gia tốc không đổi, còn được gọi là phương trình chuyển động thứ hai
$x-x_{0}= v_{0}(t-t_{0})+½.a.(t-t_{0})^2$
Hay
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$   [ phương trình thứ hai ]

(iii)  Bây giờ để có mối quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển ta sẽ tìm vi phân của vận tốc $v$ theo biến dịch chuyển $x$  .
Ta có  $\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dt}.\frac{dt}{dx}=a.\frac{1}{v}$
Khi đó $v.dv=a.dx$
Tích phân hai vế  $\int_{v}^{v_{0}}v.dv = \int_{x}^{x_{0}}a.dx$
Hay $½ . (v^2-v_{0}^2)= a.(x-x_{0})$
Phương trình chuyển động thứ ba tìm được là
$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$   [ phương trình thứ ba  ]

Với ba phương trình chuyển động được trình bày trên đây chúng ta có thể giải quyết tốt bài toán động học để tìm các yếu tố dịch chuyển (S) , vận tốc đầu (u) , vận tốc cuối (v) , gia tốc (a) và thời gian (t) - còn gọi là bài toán SUVAT . Dưới đây là bảng logic giải bài toán phương trình chuyển động một chiều - gia tốc hằng .

Câu hỏi .

1. Một hỏa tiễn rời khỏi bệ phóng với gia tốc $20m/s^2$ . Sau 20 s vận tốc của hỏa tiễn là bao nhiêu ?
S = ?  , u = 0 , v = ? , a = 20 , t = 20
Dùng bảng logic , áp dụng $v= u +a. t$



2. Một xe máy chuyển động với vận tốc 20m/s  có gia tốc $0.5m/s^2$  trong thời gian 30s . Tính quãng đường xe máy đi được .
S = ? , u = 20 , v = ? , a = 0,5 , t = 30
Dùng bảng logic , áp dụng $x = u. t + ½ .a. t^2.$



3. Quả bóng rơi từ độ cao 20m . Tính vận tốc khi bóng chạm đất ?
S = 20 , u = 0 , v = ? , a = g = $9.8m/s^2$ , t = ?
Dùng bảng logic , áp dụng $v^2 = u^2 + 2.a.x$


4. Xe hơi xuống dốc trên xa lộ với vận tốc 25m/s . Các kỹ sư muốn thiết kế bộ chuyển tốc với gia tốc $-2.0m/s^2$  trong khoảng 3s .
a. Tính vận tốc xe hơi lúc đạt đến mức yêu cầu .
b. Khoảng cách tối thiểu để xe đạt đến mức yêu cầu .
S = ? , u = 25 , v = ? , a = -2 , t = 3
Áp dụng $v= u +a. t$
Áp dụng $x = u. t + ½ .a. t^2.$



5. Máy bay phản lực thương mại Boeing cần đạt đến vận tốc 90m/s trên phi đạo trước khi cất cánh . Nếu thời gian chạy trên phi đạo là 30s , hãy tính
a. Gia tốc của máy bay .
b. Đoạn đường máy bay chạy trên phi đạo .









Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 02/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/






  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.