VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.8 Động học và phép toán vi tích phân

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.8   Động học và phép toán vi tích phân    







Khi gia tốc là hằng số  

Phương trình chuyển động thứ 1.

Phép tính vi tích phân là một chủ đề toán học cao cấp và khá phức tạp , nhưng khi trích xuất các ý tưởng để thu được những phương trình chuyển động thì công việc này lại đơn giản hơn nhiều. Theo định nghĩa, gia tốc là đạo hàm cấp một của vận tốc theo thời gian.

$a = \frac{dv}{dt}$ ,

và trong bối cảnh này chúng ta sẽ xét đến trường hợp đặc biệt : khi gia tốc là hằng số . Thay vì đạo hàm vận tốc để tìm gia tốc , chúng ta sẽ tích phân gia tốc để tìm vận tốc. Điều này mang lại cho chúng ta phương trình vận tốc-thời gian.
Hãy xem các bước tính sau đây

$a = \frac{dv}{dt}$

$dv = a.dt$

$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{t_{0}}^{t}adt$

$v-v_{0}=a(t-t_{0})=a.\Delta t$

Hay   $v=v_{0}+a.\Delta t$  đây chính là phương trình chuyển động thứ nhất

Khi  $t_{0} = 0 $  ta có    $v=v_{0}+a. t$


Phương trình chuyển động thứ 2.

Một lần nữa, theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm cấp một của dịch chuyển theo thời gian. Thay vì đạo hàm dịch chuyển để tìm vận tốc, ta tích phân vận tốc để tìm dịch chuyển .

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v.dt = (v_{0}+at) dt $

$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t}(v_{0}+at) dt $

$x-x_{0}=v_{0}(t-t_{0})+1/2 a.(t-t_{0})^2$

Hay   $x=x_{0}+v_{0}\Delta t + 1/2 a.\Delta t^2$  đây chính là phương trình chuyển động thứ hai

Khi  $t_{0} = 0 $  ta có   $x=x_{0}+v_{0} t + 1/2 a. t^2$



Phương trình chuyển động thứ 3.

Quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển sẽ được tìm từ vi phân của vận tốc $v$ theo biến dịch chuyển $x$  .

Ta có  $\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dt}.\frac{dt}{dx}=a.\frac{1}{v}$

$v.dv=a.dx$

$\int_{v}^{v_{0}}v.dv = \int_{x}^{x_{0}}a.dx$

Hay $½ . (v^2-v_{0}^2)= a.(x-x_{0})$

Phương trình chuyển động thứ ba tìm được là

$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$


Khi gia tốc khác hằng số 

Các phương trình chuyển động thể hiện ở trên áp dụng khi gia tốc là không đổi. Để giải quyết một số bài toán chuyển động có gia tốc không phải là hằng số chúng ta sẽ đưa ra một khái niệm mới - độ giật (jerk) . Một cách vắn tắt độ giật là mức độ thay đổi của gia tốc theo thời gian.

$\textbf{j}=\frac{d\textbf{a}}{dt}$

Viết dạng hình thức

$\textbf{j}=\frac{d\textbf{a}}{dt}=\frac{d^2\textbf{v}}{dt^2}=\frac{d^3\textbf{r}}{dt^3}$

Đơn vị của độ giật là  $m/s^3$ , một đơn vị khác nữa là  $g/s  \approx 9.80665  m/s^3$

* Bây giờ từ định nghĩa của độ giật

$j=\frac{da}{dt}$  hay  $da = j dt$    tích phân 2 vế ,

$\int_{a_{0}}^{a}da=\int_{t_{0}}^{t}jdt$

$a-a_{0}=j(t-t_{0})=j\Delta t$   hay

 $a=a_{0}+j\Delta t$  và  $j=(a-a_{0})/ \Delta t$

Khi $t_{0}=0$   thì   $a=a_{0}+j t$  và  $j=(a-a_{0})/  t$

* Từ định nghĩa của gia tốc

$a = \frac{dv}{dt}$  hay  $dv = a.dt$   thay   $a=a_{0}+j t$

$dv = (a_{0}+j t).dt$    tích phân 2 vế

$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{t_{0}}^{t}(a_{0}+jt)dt $

$v-v_{0}= a_{0}(t-t_{0})+1/2j(t-t_{0})^2 =  a_{0}\Delta t +1/2j \Delta t^2$    hay

$v=  v_{0} + a_{0}\Delta t +1/2j \Delta t^2$

Khi $t_{0}=0$   thì   $v=  v_{0} + a_{0} t +1/2j  t^2$

* Từ định nghĩa của vận tốc

$v = \frac{dx}{dt}$  hay  $dx = v.dt$   thay   $v=  v_{0} + a_{0} t +1/2j  t^2$

$dx = ( v_{0} + a_{0} t +1/2j  t^2).dt$    tích phân 2 vế

$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t}( v_{0} + a_{0} t +1/2j  t^2).dt$

$x-x_{0}=v_{0}(t-t_{0})+1/2a_{0}(t-t_{0})^2+1/6j(t-t_{0})^3 = v_{0}\Delta t +1/2a_{0}\Delta t^2+1/6j \Delta t^3 $

Hay   $x = x_{0}+ v_{0}\Delta t +1/2a_{0}\Delta t^2+1/6j \Delta t^3 $

Khi $t_{0}=0$   thì   $x = x_{0}+ v_{0} t +1/2a_{0} t^2+1/6j t^3 $

Tóm tắt :

Bảng công thức trên cho ta cách tính các giá trị rời rạc của độ giật , gia tốc , vận tốc và dịch chuyển  $j , a , v , x $   trong trường hợp gia tốc khác hằng số  .


Câu hỏi

1. Phương trình dịch chuyển của vật thể chuyển động theo thời gian t trong khoảng từ 0 đến 8 s  như sau
$ x = t^3 - 12.t^2 + 30.t $
Trong đó x có đơn vị là m .
Hãy tính :
a. Vận tốc của vật thể .
b. Gia tốc của vật thể .
c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó
f. Vận tốc trung bình của đối tượng
g.Tốc độ trung bình của đối tượng

Lời giải
Đồ thị dịch chuyển-thời gian

a. b.  Vận tốc của vật thể :  $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30  (m/s)$
         Gia  tốc của vật thể :  $a = dv/dt = 6t - 24t  (m/s^2) $

c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
Từ biểu thức vận tốc  $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30  (m/s)$  đây là hàm số bậc hai , giải phương trình đạo hàm của vận tốc bằng 0 . Ta có
$v'(t) = 6t - 24 = 0 $
$ t = 4 $
Lập bảng biến thiên của hàm $v(t)$

Từ bảng này ta nhận được
Vận tốc cực đại  :  $v_{MAX} = 30 (m/s)$
Vận tốc cực tiểu :  $v_{MIN} = -18 (m/s)$

d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
Hướng chuyển động phụ thuộc vào dấu của vận tốc . Ta lập bảng xét dấu  và khảo sát đồ thị vận tốc $v(t)$

Thời gian vật chuyển động ngược hướng :  $ t \in [1.55 , 6.45] $

e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó .
Vị trí ban đầu của vật thể tại $t=0$ là $x(0)=0$
Tìm thời gian trở về vị trí bắt đầu nghĩa là giải phương trình  $x(t)=x(0)=0$

$ t^3 - 12.t^2 + 30.t =0$

$t = 0 $ ; $ t = 6 - \sqrt{6} \approx{3.55}$ (nhận)  ;  $t = 6 + \sqrt{6} \approx{8.45}$ (loại)

f. Vận tốc trung bình của đối tượng

$\bar{v}=\frac{x(t)-x(t_{0})}{t-t_{0}}$  vì thời gian tính từ 0 đến 8 (s) nên

$\bar{v}=\frac{x(8)-x(0)}{8-0} = \frac{8^3-12.8^2+30.8 - 0}{8-0}= -2 (m/s)$


g.Tốc độ trung bình của đối tượng

Trên khoảng $t \in [0,1.55]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{1}= x(1.55)-x(0) = 21.39$

Trên khoảng $t \in [1.55 , 6.45]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{2}= x(6.45)-x(1.55) = -37.39-21.39 = -58,78 $

Trên khoảng $t \in [6.45 , 8]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{3}= x(8)-x(6.45) = -16 -(-58.78) = 42.78$

Tổng khoảng cách là $\Delta S =\Delta S_{1} + |\Delta S_{2}| + \Delta S_{3} = 21.39 + 58,78 +42.78 = 122,95 (m)$

Tốc độ trung bình của đối tượng :  $\bar{V} = \Delta S/ \Delta t  =  122,95 / 10  = 15,37 (m/s)$


2. Đồ thị sau đây biểu diễn gia tốc rời rạc của thang máy thủy lực của tòa nhà 4 tầng . Đồ thị bắt đầu ở $t = 0 s$   khi của thang máy đóng lại ở tầng 2 , dừng lại ở  $t = 20 s$ khi cửa thang máy mở ra ở một tầng khác . Hướng dương của dịch chuyển , vận tốc và gia tốc là hướng lên trên .
Hãy xác định :
a. Tốc độ cực đại của thang máy .
b. Khoảng thời gian thang máy có độ giật nhỏ ở 17.5 s
c.  Vẽ đồ thị vận tốc-thời gian
d.  Vẽ đồ thị dịch chuyển-thời gian .

Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 25/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/
6. http://physics.tutorcircle.com/




  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.