GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 1 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 1 . 

-Một số kiến thức cần thiết .
Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân  .
-Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .







 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
01/08/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Một số kiến thức cần thiết .
1.1  Hệ thống phương trình tuyến tính .
+Nhắc lại hệ thống phương trình tuyến tính (1) 

Ma trận mở rộng của hệ có dạng 

+Hạng của ma trận A ký hiệu r(A) = r  là số vector dòng ( hoặc cột ) lớn nhất độc lập tuyến tính của A .
Ta tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi Gauss-Jordan theo dòng ( hoặc cột ) .
Ví dụ :

Thực hành Maple bằng lệnh  >Rank(  ) ;

+Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính .
Xét trường hợp m = n thì Anxn là ma trận vuông cấp n .
(1) có dạng   

Tương ứng với 
-Nếu r(A) = r(A|B) = r = n  thì nghiệm X duy nhất .
-Nếu r(A) = r  <  r(A|B)  thì vô nghiệm X .
-Nếu r(A) = r(A|B) = r  <  n  thì vô số nghiệm X .
+Định thức của ma trận vuông Anxn  ký hiệu det(A) .

Ví dụ : Tính định thức của ma trận 

+Sự liên quan giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và định thức .
Xét hệ (1) :  AX  =  B .
-Hệ có nghiệm duy nhất nếu det(A) =/= 0 .
-Hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm nếu det(A) = 0 .
Trong trường hợp hệ là thuần nhất i.e AX  =  0  .
-Hệ có nghiệm duy nhất X  =  0  nếu det(A) =/= 0 .
-Hệ có vô số nghiệm X =/=  0  nếu det(A) = 0 .

1.2  Trị đặc trưng và vector đặc trưng .
+Nhắc lại về đa thức đặc trưng . Cho ma trận vuông       Anxn  , ta nói đa thức đặc trưng của A là  det(A -mI)  với I là ma trận đơn vị cấp n . 
-Phương trình đặc trưng của A  là det(A - mI) = 0 . 
-Trị đặc trưng của ma trận A là nghiệm m tìm được từ phương trình đặc trưng .
Nghiệm m có thể là thực - rời , thực - bội cấp p , phức , phức -căn bậc n , phức - bội cấp p  (xem Chương 4-Phần 1 . 2.1.2 ) . 
-Vector đặc trưng tương ứng với trị đặc trưng m cảu ma trận A là nghiệm  X  thỏa AX  = mX  .
Ví dụ : 
Tìm trị và vector đặc trưng của ma trận sau 

Vector đặc trưng tương ứng với m = 2 . 
Giải AX  = 2X  .

  

2 .Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân   .
2.1  Hệ thống phương trình vi phân cấp 1 .
+Hệ thống phương trình vi phân gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm và các đạo hàm của ẩn hàm . 

Việc giải hệ thống này là khảo sát biểu thức của ẩn hàm ( nghiệm ) và biến độc lập ở dạng hiển , dạng ẩn ( hoặc tham số ) và bằng hình thức giải tích , giải số hay đồ thị . 
+Nếu hệ phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp 1 của ẩn hàm ta nói đây là hệ thống phương trình vi phân cấp 1 . Trong phần tiếp theo ta sẽ khảo sát hệ thống phương trình cấp 1 - hiển theo đạo hàm có dạng sau đây (2)

Hoặc rút gọn 

2.2  Bài toán Cauchy và định lý tồn tại duy nhất nghiệm  .
+Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp 1 được phát biểu 

+Định lý Picard - Lindelof :

+Các hàm y = (yk(x,C1,..,Cn)) xác định trên miền W thuộc D´U,  với các hằng số Ck , k =1,..,n được xác định duy nhất thỏa mãn (2) gọi là nghiệm tổng quát của hệ . 
-Nghiệm thỏa định lý Picard-Lindelof ta gọi là nghiệm duy nhất của hệ  .
-Nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất được gọi là nghiệm kỳ dị .
Ví dụ : Chứng minh rằng 

Lời giải . 
Thay biểu thức của y1 và y2 vào hệ thống phương trình ,

Để ý rằng các hằng số C1 và C2 được xác định duy nhất theo y1 , y2 . 
2.3  Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp cao và hệ thống phương trình vi phân .
+ Xét phương trình vi phân cấp cao 

Đây chính là hệ thống phương trình vi phân (2) .
Ví dụ : 

3 .Lý thuyết tổng quát 
-Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính  .
3.1  Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính gồm nhiều phương trình chứa biến độc lập , ẩn hàm bậc nhất và các đạo hàm của ẩn hàm  . (3)  

Để viết dưới dạng ma trận 

+Khi h(t)  =  0  ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất . 
+Khi h(t)  =  0  và các hàm aij(t) = const ta nói (3) có dạng tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . 
Ví dụ :

3.2  Tập nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng 
              
                   y(t)'  =  A(t).y(t)      (4)

Với A(t) là ma trận các hàm  aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D .
+Giả sử hệ nghiệm của (4) là { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) độc lập tuyến tính , mỗi yk(t) có thể viết ở dạng vector  ( y1k(t)   y2k(t)   ... ynk(t) )  khi đó một số tính chất của hệ nghiệm như sau .
-Nghiệm tổng quát của (4)   yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n )
-Hệ nghiệm { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) còn gọi là hệ cơ sở của (4) có cấu trúc một không gian vector .
-Để một hệ nghiệm của (4) là hệ cơ sở thì điều kiện cần và đủ là định thức Wronski của nó khác 0 .

3.3  Nghiệm của hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .
+Như đã nói ở phần trên hệ thống phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng 

                  y(t)'  =  A(t).y(t)  +  h(t)   (3)

Với A(t) là ma trận các hàm  aij(t) , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D .
+Nếu biết nghiệm riêng của hệ không thuần nhất  ( ký hiệu là yR )  và nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tương ứng ( ký hiệu là yTN )  thì nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất ( ký hiệu yTQ )  sẽ là 

yTQ   =  yR  +  yTN 

+Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất có thể tìm được bằng phương pháp biến thiên tham số  .  
Đặt { yk(t) } , ( k = 1,2,...,n ) là hệ cơ sở của hệ  tuyến tính thuần nhất . Khi đó yk(t) là tổ hợp tuyến tính của yjk(t) , ( j = 1,2,...,n )
Nghiệm riêng của hệ không thuần nhất được tính từ biểu thức 

3.4  Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .
+Hệ thống phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                  y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (5)

Với A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) liên tục trên miền D .
+Nếu  h(t) = 0   ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (6)

+Phương trình đặc trưng của (6) là  det( A - mI ) = 0  . Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng mk  , k = 1, 2 ...  .  
+Nghiệm của phương trình này là nghiệm đặc trưng mk của hệ , vector đặc trưng tương ứng là vk(t) , tìm được bằng cách giải phương trình 
Avk(t) =mk . vk(t).
+Một số trường hợp của trị đặc trưng như sau :
a. Thực -rời .
 Nếu các mk  , k = 1,2,..., n là thực và rời nhau thì hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t)  là độc lập tuyến tính .  Hệ nghiệm của (6) cũng độc lập tuyến tính và có dạng  

                   uk(t) = exp(mk t).vk(t) 

b. Phức .
 Nếu có mk = a + ib  là trị đặc trưng với vector đặc trưng tương ứng là vk(t)  thì  a - ib  cũng là trị đặc trưng của hệ . Khi đó 2 nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ sẽ là 

                   uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = 
      exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]

                   uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
      exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]

c. Thực - bội .
 Nếu có mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  và một trị đặc trưng m   là thực - bội cấp p của hệ . Khi đó nghiệm của hệ được biểu diễn bởi 

   


Trần hồng Cơ
09/08/2013.




------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .