GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .
Chương 5 -
PHẦN 2 .
-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử .
-Phương pháp biến đổi Laplace .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ .
20/08/2013 .
****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
1. Phương pháp ma trận .
+Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng
y(t)' = A.y(t) + h(t) (1)
Với A là ma trận các hằng số thực aij , ( i,j = 1,2,...,n ) và h(t) là vector cột ( h1(t) h2(t) ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n ) liên tục trên miền D cho trước .
+Khi h(t) = 0 ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .
y(t)' = A.y(t) (2)
Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) .
1.1 Nghiệm thuần nhất .
Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) .
Cách tìm nghiệm thuần nhất .
Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng
| A - mI | = 0 .
Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m .
+Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ... của hệ .
Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(t) tương ứng với nghiệm mk bằng cách giải phương trình
Avk(t) =mk . vk(t).
+Các trường hợp của trị đặc trưng gồm :
a. Thực -rời .
+Các mk , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t) là độc lập tuyến tính . Hệ nghiệm của (2) có dạng
uk(t) = exp(mk t).vk(t)
Ví dụ 1 .
Trị đặc trưng phức mk = a + ib với vector đặc trưng tương ứng là vk(t) thì a - ib cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng
uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} =
exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]
uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]
Ví dụ 2 .
Hệ có một trị đặc trưng m là thực - bội cấp p và mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận
( A - mI ) v = vj-1(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi
Ví dụ 3 .
Khi đó
Hệ có một số trị đặc trưng mi , i = 1,2 ,..., k là phức và mj là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t) . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a. và b ( hoặc c. tùy theo các dạng của trị đặc trưng ) .
Ví dụ 4 .
Nghiệm riêng yR của hệ (1) được tìm sau khi đã có nghiệm thuần nhất yTN của (2) .
Khi đó nghiệm tổng quát của (1) ký hiệu yTQ là tổ hợp nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng .
yTQ = yR + yTN
Cách tìm nghiệm riêng .
Xét hệ y(t)' = A.y(t) + h(t) (1)
Bước 1 . Tìm nghiệm thuần nhất yTN , có thể viết dưới dạng vector như sau
y = U(t)C(t)
Đạo hàm hai vế theo biến t , ta có
y' = U(t)C'(t) + U'(t)C(t) = A.y(t) + h(t) (*)
Thay U'(t) = A.U(t) và y(t) = U(t)C(t) vào (*)
U(t)C'(t) + A.U(t)C(t) = A.U(t)C(t) + h(t)
Vậy
U(t)C'(t) = h(t)
Tích phân hai vế theo biến t , thu được
>U:=Matrix(<<exp(-3*t),-exp(-3*t)>|<4*exp(2*t),exp(2*t)>>);
[exp(-3 t) 4 exp(2 t)]
U := [ ]
[-exp(-3 t) exp(2 t) ]
> U1:=simplify(MatrixInverse(U));
[1/5 exp(3 t) -4/5 exp(3 t)]
U1 := [ ]
[1/5 exp(-2 t) 1/5 exp(-2 t)]
> h := <exp(t),-exp(t)>;
[exp(t) ]
h := [ ]
[-exp(t)]
> C1:=simplify(MatrixVectorMultiply(U1,h));
[exp(4 t)]
C1 := [ ]
[ 0 ]
> C := <int(C1[1],t),int(C1[2],t)>;
[1/4 exp(4 t)]
C := [ ]
[ 0 ]
> yR:=simplify(MatrixVectorMultiply(U,C));
[1/4 exp(t) ]
yR := [ ]
[-1/4 exp(t)]
> with(DEtools):
> sys1:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)};
d d
sys1 := {-- y1(t) = y1(t) + 4 y2(t), -- y2(t) = y1(t) - 2 y2(t)}
dt dt
> dsolve(sys1,{y1(t),y2(t)});
{y1(t) = _C1 exp(-3 t) + _C2 exp(2 t),
y2(t) = -_C1 exp(-3 t) + 1/4 _C2 exp(2 t)}
> sys2:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t)+exp(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)-exp(t)};
d
sys2 := {-- y1(t) = y1(t) + 4 y2(t) + exp(t),
dt
d
-- y2(t) = y1(t) - 2 y2(t) - exp(t)}
dt
> dsolve(sys2,{y1(t),y2(t)});
{y1(t) = exp(-3 t) _C2 + exp(2 t) _C1 + 1/4 exp(t),
y2(t) = -exp(-3 t) _C2 + 1/4 exp(2 t) _C1 - 1/4 exp(t)}
Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn lời bình luận của các bạn .
Tôi sẽ xem và trả lời ngay khi có thể .
Thank you for your comments.
I will review and respond to these issues as soon as possible.
Trần hồng Cơ .
Co.H.Tran
MMPC-VN
cohtran@mail.com