GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 5 - PHẦN 2 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 5 -

PHẦN 2 . 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .

-Phương pháp ma trận .
-Phương pháp toán tử     .
-Phương pháp biến đổi Laplace  .


 

Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
20/08/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.


 

Các phương pháp giải hệ thống phương trình vi phân tuyến tính .
1. Phương pháp ma trận .
+Như đã trình bày ở Chương 5-Phần 1 , hệ thống phương trình tuyến tính hệ số hằng có dạng 

                   y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)

Với  A là ma trận các hằng số thực  aij , ( i,j = 1,2,...,n )  và h(t)  là vector cột ( h1(t)  h2(t)  ... hn(t) ) gồm các hàm hk(t) ( k = 1,2,...,n )  liên tục trên miền D cho trước .
+Khi  h(t) = 0   ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng .

                   y(t)'  =  A.y(t)         (2)

Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát các phương pháp giải cho dạng (1) .
1.1 Nghiệm thuần nhất .
Nghiệm thuần nhất yTN của hệ (1) là lời giải của (2) .
Cách tìm nghiệm thuần nhất .
Bước 1 . Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng 
| A - mI |  = 0 .  
Đây là phương trình đại số bậc n theo ẩn đặc trưng m .  
+Nghiệm của phương trình này gọi là nghiệm đặc trưng mk , k = 1, 2 ...  của hệ . 
Bước 2 . Tìm vector đặc trưng ký hiệu là vk(t) tương ứng với nghiệm mk   bằng cách giải phương trình 
                        Avk(t) =mk . vk(t).
+Các trường hợp của trị đặc trưng gồm :
a. Thực -rời .
 +Các mk  , k = 1,2,..., n là thực - rời có hệ n vector đặc trưng tương ứng vk(t)  là độc lập tuyến tính .  Hệ nghiệm của (2) có dạng  

                   uk(t) = exp(mk t).vk(t) 

Ví dụ 1 . 

b. Phức .
 Trị đặc trưng phức  mk = a + ib   với vector đặc trưng tương ứng là vk(t)  thì  a - ib  cũng là trị đặc trưng của hệ . Hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của hệ có dạng 

                   uk1(t) =Re{ exp(mk t).vk(t)} = 
      exp(at).[Re{vk(t)}cosbt - Im{vk(t)}sinbt]

                   uk2(t) = Im{exp(mk t).vk(t)} =
      exp(at).[Re{vk(t)}sinbt + Im{vk(t)}cosbt]

Ví dụ 2 . 

c. Thực - bội .
 Hệ có một trị đặc trưng m   là thực - bội cấp p và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Để tìm vector đặc trưng vj(t) ( j = 2,3,..., ) ta giải phương trình ma trận 
( A - mI ) v = vj-1(t)  .  Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi 
             

Ví dụ 3 . 

Khi đó 

d. Thực - phức .
 Hệ có một số trị đặc trưng mi , i = 1,2 ,..., k   là phức và  mj  là trị đặc trưng thực - rời , j = 1,2,..., h với vector đặc trưng tương ứng là vj(t)  . Nghiệm của hệ được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính dạng a.  và  b ( hoặc  c.  tùy theo các dạng của trị đặc trưng ) . 
Ví dụ 4 .

1.2 Nghiệm riêng .
Nghiệm riêng yR của hệ (1) được tìm sau khi đã có nghiệm thuần nhất yTN của (2) .
Khi đó nghiệm tổng quát của (1) ký hiệu yTQ là tổ hợp nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng .
yTQ  =  yR  +  yTN 
Cách tìm nghiệm riêng .
Xét hệ         y(t)'  =  A.y(t)  +  h(t)   (1)
Bước 1 . Tìm nghiệm thuần nhất yTN , có thể viết dưới dạng vector như sau 

Bước 2 . Tìm nghiệm riêng  yR  bằng phương pháp biến thiên tham số . Các bạn tham khảo thêm các mục sau : Chương 2 - Phần 2 . 2 - 2.3 ; Chương 4 - Phần 1 . 4 - 4.1 ; Chương 4 - Phần 4 . 2 - 2.3.3 . Nghiệm riêng của (1) được giả thiết có dạng 
                        y  =  U(t)C(t)
Đạo hàm hai vế theo biến t , ta có 
y'  =   U(t)C'(t)   +   U'(t)C(t)   =  A.y(t)  +  h(t)  (*)
Thay U'(t)   = A.U(t)  và  y(t)  =  U(t)C(t)  vào (*) 
U(t)C'(t)   +    A.U(t)C(t)  =  A.U(t)C(t)  +  h(t) 
  Vậy 
                 U(t)C'(t)   =   h(t) 
Tích phân hai vế theo biến t , thu được 

Ví dụ 5. Giải hệ 

Kiểm tra bằng Maple 

Dưới đây là Worksheet của bài toán 
>U:=Matrix(<<exp(-3*t),-exp(-3*t)>|<4*exp(2*t),exp(2*t)>>);
                        [exp(-3 t)     4 exp(2 t)]
                U := [                        ]
                        [-exp(-3 t)     exp(2 t) ]

> U1:=simplify(MatrixInverse(U));

                      [1/5 exp(3 t)     -4/5 exp(3 t)]
            U1 := [                              ]
                      [1/5 exp(-2 t)    1/5 exp(-2 t)]

> h := <exp(t),-exp(t)>;

                                 [exp(t) ]
                          h := [       ]
                                 [-exp(t)]

> C1:=simplify(MatrixVectorMultiply(U1,h));

                                 [exp(4 t)]
                       C1 := [        ]
                                 [   0    ]

> C := <int(C1[1],t),int(C1[2],t)>;

                              [1/4 exp(4 t)]
                      C := [            ]
                              [     0      ]

> yR:=simplify(MatrixVectorMultiply(U,C));

                               [1/4 exp(t) ]
                     yR := [           ]
                               [-1/4 exp(t)]

> with(DEtools):
> sys1:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)};

            d                           d
   sys1 := {-- y1(t) = y1(t) + 4 y2(t), -- y2(t) = y1(t) - 2 y2(t)}
            dt                          dt

> dsolve(sys1,{y1(t),y2(t)});

  {y1(t) = _C1 exp(-3 t) + _C2 exp(2 t),

        y2(t) = -_C1 exp(-3 t) + 1/4 _C2 exp(2 t)}

> sys2:={diff(y1(t),t)=y1(t)+4*y2(t)+exp(t),diff(y2(t),t)=y1(t)-2*y2(t)-exp(t)};

           d
  sys2 := {-- y1(t) = y1(t) + 4 y2(t) + exp(t),
           dt

        d
        -- y2(t) = y1(t) - 2 y2(t) - exp(t)}
        dt

> dsolve(sys2,{y1(t),y2(t)});

  {y1(t) = exp(-3 t) _C2 + exp(2 t) _C1 + 1/4 exp(t),

        y2(t) = -exp(-3 t) _C2 + 1/4 exp(2 t) _C1 - 1/4 exp(t)}


Trần hồng Cơ .
09/09/2013 .


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .