TOÁN THỰC HÀNH CHƯƠNG 2 . 2.3

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



TOÁN THỰC HÀNH  CHƯƠNG 2 .  2.3

Bài giảng .

2. 3    TÀI CHÍNH CƠ BẢN .

         

Chủ đề

- Tiền lãi .

- Lợi tức đồng niên-Tiền góp hằng năm  (Annual yield –annuity) .

- Khoản vay (Loans) .

Ứng dụng

- Vay mượn (Borrowing) .

- Khoản góp hằng tháng (Monthly payment) .

- Kết số (Future value) .

- Thực số (Present value) .

Khái niệm cơ bản

* Tiền lãi  ( Lãi đơn -Simple –Lãi kép- Compound – Lãi trả góp -Add -on interest  )  .

* Lợi tức đồng niên – Tiền góp hằng năm – Quỹ chìm  (Annual yield  -Annuity –Sinking fund ).

* Khoản vay -Loans  ( Vay trả góp -Amortized Loan –Lịch trả góp-Amortized schedule  - APR )

1.     TIỀN LÃI - INTEREST

Số tiền ban đầu cho vay được gọi là vốn hoặc thực số . Nếu một số vốn đã được trả lại, sau đó là phần còn lại chưa thanh toán được gọi là dư nợ gốc, hoặc tài khoản có . Tổng số tiền cho vay được trả lại được gọi là kết số , bao gồm số tiền ban đầu cho vay và lợi nhuận hoặc tiền lãi của người cho vay . Tiền lãi sẽ được thanh toán phụ thuộc vào tỷ lệ lãi suất.

 1.1 Lãi đơn - Simple interest 

Lãi đơn  I  tính trên vốn P theo lãi suất định kỳ năm  r   với số năm t  là   

                                      I   =  P r t     

Kết số  FV  của vốn  P  lãi suất định kỳ năm  r   với số năm t  là   

                            FV  =  P ( 1  +  r t  )

Ví dụ .  Cửa hàng tạp hóa ABC đã vay  $340,000  lãi suất định kì năm  5.1%  trong 120  ngày để mua hàng mùa Giáng sinh . Tìm tiền lãi phải trả ?

Lời giải .

 Ta có vốn   P = 340,000  lãi suất  r  =  5.1%  = 0.051

1 năm   --- 365 ngày

t? năm ---  120 ngày

Thời gian   t  = 120 ngày  =  120/365 ( năm)

I   =  P r t  =  340,000 x 0.051 x 120/365  =  5700.8219  » $5700.82

Ví dụ . Để trả tiền nhập hàng  , Cửa hàng tạp hóa ABC đã vay $185,000 lãi suất năm 7.3%  trong 4 tháng . Tìm kết số  FV của khoản vay .

Lời giải .

Ta có vốn  P = $185,000 ,  lãi suất năm  r  =  7.3% = 0.073

1 năm   --- 12 tháng

t? năm ---  4 tháng

Thời gian  4 tháng = 4/12  năm

Áp dụng   FV  =  P ( 1  +  r t  )=  185,000 x 0.073 x 4/12 = 189501.6667

» $189501.67 .

Điều này nghĩa là cửa hàng ABC phải trả  $185,000  cộng thêm $4501.67  tiền lãi vào cuối kỳ vay 4 tháng . 

Ví dụ . Tìm số vốn cần đầu tư hiện nay ( present value -thực số ) với lãi suất  0.0575 để thu được  $1000 trong 2 năm .

Lời giải .

FV  =  P ( 1  +  r t  ) hay  
 P =  FV/ ( 1  +  r t  )

Ta có  FV  =  1000  ;  r  =   0.0575  ;  t  =  2 

hay   P =  1000 / ( 1  +  0.0575 .  2  )  = 896.86   

Vậy vốn đầu tư hiện nay ( thực số ) là  $896.86

1.2  Lãi trả góp -   Add-on  interest

Lãi đơn có kết số được chia đều thành mỗi kỳ trả bằng nhau ta gọi là lãi trả góp , kí hiệu   AoI 

Ví dụ .  Eddie mua một laptop trị giá  $1,300  ở  Wall-Mart . Anh ấy trả trước $200  và chấp thuận‎ trả góp với lãi suất 10%  lãi trả dần trong  2 năm . Tìm số tiền trả góp hằng tháng .

Lời giải .

P  =  khoản vay =  1,300  -  200  =  1,100 ($) ;

Lãi suất   r  =  0.1 ;  thời gian  t   =  2  (yrs)

Vậy  FV  =  P ( 1  +  r t  )  =  1,100 . ( 1 + 0.1 x 2 )  =  1,320 ($)

 AoI  =  FV / t  =  1,320 / 24  =  $55/ tháng .

 1.3  Công thức lãi kép -Compound Interest Formula

Tại cuối mỗi n kỳ , kết số của vốn ban đầu P tính theo lãi kép với lãi suất r định kỳ năm  và t là thời gian (năm)  . Ta có 

Trong đó

r lãi suất định kỳ năm ( the annual interest rate)

i lãi suất định kỳ (  the periodic interest rate ) = r . t

n là số kỳ  .

I  tiền lãi (  the interest) .

Ví dụ  .  Với số vốn $1,000 gửi vào tài khoản với  8% lãi kép định kỳ quí  (interest compounded quartly) . Tìm kết số ( FV ) sau 6 tháng .

 Lời giải .

 + Tính theo công thức lãi đơn :

Vì lãi kép định kỳ quí , tiền lãi sẽ được tính và tích lũy vào vốn ban đầu mỗi quí . 

Cuối quí thứ nhất ta có  , 

P  = 1,000 ,  r  =  0.08 , t = ¼

FV  =  P ( 1  +  r t  ) = 1000( 1 + 0.08x1/4 ) = 1020

Cuối quí thứ nhất ta có  ,

 P  =  1,020 , r = 0.08 , t = ¼

FV  =  P ( 1  +  r t  ) = 1020( 1 + 0.08x1/4 ) = 1040.40

+ Tính theo công thức lãi kép :

1 năm   ---   4 quí

t? năm  ---   1 quí   =>  t  = ¼  năm

Lãi suất định kỳ  i  =  r . t  = 0.08 x ¼  =  0.02 , 

1 kỳ ( quí )   ---   3 tháng

n kỳ ?           ---   6 tháng  =>  n  = 2  kỳ

áp dụng công thức lãi kép 

Ví dụ .

a. Tìm kết số  FV  của khoản vốn  $2,000 gửi vào tài khoản lãi suất 10.3% định kỳ ngày trong 15 năm .

b. Tìm tiền lãi thu được .

Lời giải .

Ví dụ .

a. Tìm kết số  FV  của khoản vốn  $2,500 gửi vào tài khoản lãi suất 10.3% định kỳ ngày trong 15 năm .

b. Tìm tiền lãi thu được .

Lời giải .

a. Lãi kép định kỳ ngày  : 

P  = 2,500 ,  r  = 10.3%  =  0.103 ,

1 năm     ---  365 ngày

t ? năm   ---    1 ngày

thời gian  t = 1/365   

Lãi suất định kỳ  i  =  r . t  =  0.103 x( 1/365 )

365 kỳ (ngày)  ---  1  năm

n kỳ ?              ---  15 năm  =>  n  = 15 x 365 =  5,475   kỳ

áp dụng công thức lãi kép 

b.  Vốn là  $2,500 và kết số FV  là  $11,717.37  , vậy tiền lãi thu được = Kết số (FV)  -  Vốn (P)   =  11,717.37  - 2,500  = 9,217.37 ($)

Dưới đây là bảng so sánh từng năm giữa lãi đơn , lãi kép định kỳ năm , quí , tháng và ngày với cùng một khoản vốn $1000 , cùng lãi suất 10% và cùng kỳ 10 năm  .

Biểu đồ bậc thang 

2.  LỢI TỨC ĐỒNG NIÊN – TIỀN GÓP HẰNG NĂM                 ( ANNUAL YIELD  -  ANNUITY  )

  2.1 Lợi tức đồng niên - Annual yield

Lợi tức đồng niên của khoản tiền gửi lãi suất kép là lãi suất đơn có cùng một kết số với lãi suất kép đó thu được trong 1 năm . Tìm lợi tức đồng niên bằng cách giải phương trình sau tìm r .

Ví dụ .  Tìm lợi tức đồng niên của $2500 gửi vào tài khoản lãi kép 10.3%  định kỳ ngày trong 15 năm .

Lời giải .

Vậy lợi tức đồng niên là 10.847%

Ví dụ .  Tìm lợi tức đồng niên tương ứng với lãi suất ấn định là 8.4%  lãi kép định kỳ tháng (compounded monthly) .

Lời giải .

Tính lãi kép trong 1 năm 

Vậy lợi tức đồng niên là 8.73%

2.2 Tiền góp hằng năm - Annuity   

 Tiền góp hằng năm là dãy những khoản góp đều đặn bằng nhau vào tài khoản trong đó mỗi khoản đóng nhận một lãi suất kép .

Ví dụ .  Đóng $50 hàng tháng với lãi suất 10% .

Tính kết số thu được trong 40 năm với :

a. Lãi đơn .

b. Lãi kép định kỳ tháng . 

Lời giải .

a.    Lãi đơn : $50 x tháng x 40 năm = $24,000

b.   Lãi kép :

 t = 1/12 

i = r. t  =  0.1x 1/12 = 0.0083

n = 40 x 12 = 480 kỳ

* Kết số FV  của tiền góp hằng năm thông thường với khoản góp  pymt = $50 , lãi suất định kỳ  i = 0.1/12 , và  n = 480 lần đóng là :   

$ 316,204  

* Kết số FV  của tiền góp hằng năm đáo hạn với khoản góp pymt = 50$ , lãi suất định kỳ  i = 0.1/12 , và  n = 480 lần đóng là :     
$318,839

2.3  Quỹ chìm - Sinking Fund    là khoản góp hằng năm được tiết kiệm dùng vào mục đích cá nhân nào đó .  

Ví dụ .  Jack và Anna muốn lập một quỹ chìm dành cho việc học tập của đứa con của họ . Biết quỹ này có tài khoản tiền góp hằng năm thông thường , để có ngân quỹ $30,000 trong 18 năm , lãi suất 9¼ %  lãi kép định kỳ 2 tuần , họ phải đóng tiền góp mỗi kỳ là bao nhiêu ?  

Lời giải .

Từ công thức    

tiền góp mỗi kỳ ( 2 tuần ) là   $24.9950 ~ $25  . 

Ví dụ .  Lấy ví dụ như trên  . Hãy tính

a. Kết số thực của quỹ chìm .

b. Số tiền thực đóng của Jack và Anna  .

c. Tổng tiền lãi của quỹ chìm .

Lời giải .

a. Như đã biết   pymt  = $25  ,

  i  = r.t  =  0.0925´1/26 ;  n =  18 ´ 26 = 468 

Từ công thức    

Kết số thực của quỹ chìm là $30,000.95

b. Số tiền thực đóng của Jack và Anna là :

468 kỳ x $25/kỳ  =  $11,700 .

c. Tổng tiền lãi của quỹ chìm = FV  - Số tiền thực đóng 
= $30,005.95 – $11,700  =  $18,305.95 

2.4         Tiền góp hằng năm hoãn thuế - 

Tax-Deferred Annuity  ( TDA )  

Là khoản tiền góp  hằng năm dành cho hưu trí .

Ví dụ .  Paul .K  vừa tìm được công việc mới  , anh ta muốn lập một quỹ hưu trí TDA . Paul mở một tài khoản tiền góp hàng năm thông thường bằng cách đóng $200 / tháng , lãi suất 8¾ %  , lãi kép định kỳ tháng .

a.    Tìm kết số FV của quỹ TDA  trong  35 năm sau .

b.   Tìm tiền lãi của quỹ  TDA này  .

Lời giải. 

kết số FV của quỹ TDA  trong  35 năm sau là  $552539.95 ~ $552,540

b .Tiền lãi của quỹ  TDA này =  Kết số FV  -  số tiền thực đóng  =

$552,540  -  $200 x 420  = $468,540 

  

  3.  KHOẢN VAY - LOANS  

  3.1 Vay trả góp - Amortized  Loan   là khoản vay mà vốn vay và lãi được trả thành nhiều đợt định kỳ với một khoản bằng nhau .  

Công thức vay trả góp lãi đơn - Simple Interest Amortized Loan Formula 

Trong đó pymt là khoản trả góp ,  i là lãi suất định kỳ  (periodic interest rate )  ,

 n   là số kỳ  (number of periods ) ,

 P là thực số ( Present Value - PV)  hay là tổng món nợ .

Công thức này dùng để xác định 1 trong số 4 tham số  { pymt , i, n , P } nếu có 3 tham số kia  .

Ví dụ .  George mua chiếc xe hơi trị giá  $13,518.77 . Anh ta trả trước  $1,000 và vay trả góp lãi đơn 4-năm  từ US Bank  với lãi suất 12% định kỳ tháng . Tìm các khoản sau

a.    Khoản góp phải trả hằng tháng .

b.   Tổng tiền lãi của khoản vay .

Lời giải  .

a.   Các tham số cho trước :

P  =  khoản vốn vay =  13,518.77  - 1,000 =  12,518.77  $

 r  = 12%  =  0.12 ;  i  = r.t  =   0.12 x 1/12  

 n  =  4 x 12 ( kỳ )

Tìm  pymt ?

Từ công thức 

Khoản góp phải trả hằng tháng là  $329.67 (  gồm vốn vay và lãi - principal and interest ) 

b.  George  trả 48 kỳ với  $ 329.67 / kỳ  

Nên tổng số tiền phải trả là  :  48 x 329.67 $  = $15824.16

Tổng tiền lãi của khoản vay  = tổng số tiền phải trả – vốn vay  

=  $15824.16  -  $12,518.77 

=  $3,305.39

  

3.2 Lịch trả góp - Amortization   Schedule  .  Mỗi khoản trả góp bao gồm vốn vay và lãi . Lịch trả góp là một bảng kê các kỳ trả góp trong đó chỉ ra tiền vốn vay , phần lãi và số tiền còn lại phải trả sau mỗi kỳ hoàn tất trả góp ( số dư nợ ).

Ví dụ .  Với ví dụ như trên ta thiết lập lịch trả góp cho khoản vốn vay trả góp lãi đơn 4-năm  của George trong 4 tháng đầu tiên .

Lời giải .

  

Khoản vốn vay là  $12,518.77 , trả góp trong 48 tháng . Tiền góp tháng là  $329.67 .

Ta có   r  =  12%  =  0.12 ,  t  =  1 tháng  = 1/12 (năm) ,

P =12,518.77  .

*Kỳ 1 : Tiền lãi đơn   I  =  Prt  =  12,518.77 x 0.12 x 1/12 = 125.1877 ~ $125.19

Trả vốn kỳ 1 :  $329.67  - $125.19 = $204.48

( vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,518.77  -  $204.48 =  $12,314.29

*Kỳ  2 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  12,314.29 x 0.12 x 1/12 = 123.1429 ~ $123.14

Trả vốn kỳ 2 :  $329.67  - $123.14 = $206.53

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,314.29 -  $206.53 =  $12,107.76

*Kỳ  3 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  12,107.76  x 0.12 x 1/12 = 121.0776 ~ $121.08

Trả vốn kỳ 3 :  $329.67  - $121.08 = $208.59

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$12,107.76  -  $208.59 =  $11899.17

*Kỳ  4 : Tiền lãi đơn  I  =  Prt  =  11899.17  x 0.12 x 1/12 = 118.9917 ~ $119

Trả vốn kỳ 4 :  $329.67  - 119$ = $210.67

(vốn = tiền góp – lãi  ) 

Số dư nợ còn lại phải trả

$11899.17   -  $210.67 =  $11688.5

Dưới đây là một đoạn Maple code , tác giả đã soạn thảo cho việc tính khoản tiền góp và lịch trả góp  ( ver 6.0 )

> restart; with(finance);

> eqPRESENTVALUE:=P*(1+i)^n=Pymt*((1+i)^n-1)/i:solve(eqPRESENTVALUE,{Pymt});n:=48;i:=0.12/12;P:=12518.77;; ;PV:=solve(eqPRESENTVALUE,{Pymt});

Hướng dẫn : 
Trong phần này vốn vay  P = 12518.77 , số kỳ  n = 48 ( 4 năm , mỗi năm 12 kỳ ) , lãi suất định kỳ  i = r.t  = 0.12 /12  
 ta tìm được pymt = 329.667

Hướng dẫn : 
Nhập khoản vốn  vay  P = 12518.77 khoản
khoản tiền góp 329.667 và  i = r.t  = 0.12 /12 
vào đoạn code sau



> A:= amortization(12518.77,329.667, 0.12/12);
> amortization_table[n, Payment, Interest, Principal, Balance] = matrix(A[1]);

Đoạn code này sẽ tính kỳ và tạo lịch trả góp , phần số liệu trong khung đỏ chỉ ra lịch trả góp của George trong 4 tháng đầu tiên .

Bạn có thể dùng công cụ trực tuyến tại  


http://www.javascriptsource.com/repository/javascripts/2003/03/111241/interest.html

Nhập số liệu như hình sau và click Compute .

hoặc truy cập :


http://www.javascriptsource.com/repository/javascripts/1999/02/26/JS_17387/script17387.html

Nhập số liệu như hình sau và Click  Monthly Payment để biết tiền góp hằng tháng ; Click Amortize This  để xem lịch trả góp .

Kết quả như sau

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

 Albert Einstein .