GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .
Chương 4-
PHẦN 3 .
Phép biến đổi Laplace .
Phép biến đổi ngược Laplace .
Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace .
Bài tập thực hành .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ .
14/05/2013 .
****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
Phép biến đổi Laplace là một trong số những phép biến đổi tích phân quan trọng nhất áp dụng cho việc giải các phương trình vi phân tuyến tính . Nhờ phép biến đổi Laplace ta có thể đưa phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng về một phương trình đại số , đặc biệt hơn nữa nó rất hữu dụng khi tìm nghiệm cho các phương trình vi phân tuyến tính có vế phải là những hàm xung , hàm trơn từng khúc hoặc hàm gián đoạn . Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về phép biến đổi Laplace , các tính chất và ứng dụng cho việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
1.1 Định nghĩa - ký hiệu .
Cho hàm số f(t) xác định với mọi t > 0 , phép biến đổi tích phân
1.1.1 Hàm gốc - định lý cơ bản .
a. Hàm gốc .
Cho f(t) là hàm với biến thực t , ta nói f(t) là hàm gốc nếu :
( i ) f(t) liên tục từng đoạn khi t ³ 0
( ii ) " t > 0 , $ M > 0 , so ³ 0 :
|
f(t) | £ M exp(sot ) so gọi là chỉ số tăng .
( iii ) f(t)
= 0 khi
t < 0 . Định lý sau trong trường hợp tổng quát đúng với biến phức p = s + is .
b. Định lý cơ bản .
Tìm ảnh của các hàm sau
Lời giải .
1.1.2 Các tính chất - định lý Mellin .
a. Tính chất .
(i) Tuyến tính .
Cho f(t) , g(t) là 2 hàm gốc , A , B là 2 hằng số thực ( hoặc phức )
(ii) Đồng dạng .
Cho f(t) là hàm gốc , l là hằng số thực dương
Cho f(t) , g(t) là 2 hàm gốc , A , B là 2 hằng số thực ( hoặc phức )
(ii) Đồng dạng .
Cho f(t) là hàm gốc , l là hằng số thực dương
(iii) Dời ảnh .
Cho f(t) là hàm gốc , z là số phức tùy ý
(iv) Trễ .
Cho f(t) là hàm gốc
b. Định lý Mellin .
Cho f(t) là hàm gốc có chỉ số tăng so và F(p) là ảnh của nó tại mọi điểm f(t) liên tục , ta có 
Định lý Mellin cho phép ta tìm được hàm gốc f(t) dựa trên ảnh F(p) của nó qua phép biến đổi Laplace . Đây chính là cơ sở của phép tính Laplace ngược tìm hàm gốc sau khi đã thực hiện các tính toán trên hàm ảnh F(p) .
1.2 Bảng công thức Laplace - thực hành .
1.2.1 Bảng công thức Laplace .
Dưới đây là bảng công thức Laplace của một số hàm gốc với biến thực t và biến của ảnh là số thực s .
Hàm hyperbolic và hàm Gamma .
Hàm Heaviside .
1.2.2 Thực hành .
Ví dụ 2 .
Dựa vào bảng Laplace tìm ảnh của các hàm gốc sau
Xem thêm bảng Laplace ở đây
http://www.slideshare.net/cohtran/laplace1-8merged
Laplace1 8merged from cohtran
2. Phép biến đổi Laplace ngược .
2.1 Định nghĩa - tính chất .
2.1.1 Định nghĩa .
Cho phép biến đổi Laplace F(s) = L{f(t)} , ta nói phép biến đổi Laplace ngược là
Về thực chất phép Laplace ngược cho ta tìm lại hàm gốc f(t) khi có hàm ảnh F(s) dựa vào định lý Mellin .
*
2.1.2 Tính chất .
2.2 Bảng Laplace ngược - thực hành .
2.2.1 Bảng công thức Laplace ngược .
Dưới đây là bảng Laplace ngược của một số hàm ảnh có biến thực s và hàm gốc thu được là f(t) .
2.2.2 Thực hành .
Ví dụ 3 .
Dựa vào bảng Laplace ngược tìm gốc của các hàm ảnh sau
Xem thêm bảng Laplace ngược ở đây
http://www.slideshare.net/cohtran/lap-inv1-9merged
Lap inv1 9-merged from cohtran
3. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace .
3.1 Phương pháp chung .
Sau đây chúng ta sẽ xét các ví dụ áp dụng phép biến đổi Laplace cho việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao . Các bước giải chính của phương pháp này gồm :
+Bước 1 :
Áp phép biến đổi Laplace vào 2 vế phương trình vi phân thu được phương trình đại số theo biến Y(s) .
+Bước 2 :
Dùng các phép toán đại số thông thường tìm nghiệm Y(s) .
+Bước 3 :
Áp phép biến đổi Laplace ngược vào Y(s) ta tìm được nghiệm của phương trình vi phân .
3.2 Ví dụ minh họa .
3.2.1 Dùng bảng Laplace - Laplace ngược .
Ví dụ 4 .
Tìm nghiệm của các phương trình sau
Việc tính toán ảnh Y(s) của phương trình vi phân và gốc y(t) của nó bằng các công thức Laplace và Laplace ngược đòi hỏi các kỹ năng như tách tử , thêm bớt , đồng nhất hệ số .
3.2.2 Dùng WA trực tuyến và Maple Worksheet .
Dưới đây tác giả sẽ trình bày cách xử dụng phần mềm trực tuyến WolframAlpha và Maple Worksheet cho bài toán c .
Để có kết quả Y(s) bằng WA ta tiến hành những bước sau
+Bước 1 . Truy cập địa chỉ http://www.wolframalpha.com/
hoặc trên Blog này theo hình hướng dẫn sau
trong cửa sổ Enter what you want to calculate or know about:
ta gõ vào lệnh laplace transform
Ta nhập dữ liệu vế trái : y(t)" - 2y(t)' + 5*y(t) vào ô function to transform .
Kế đến nhập dữ liệu vế phải : exp(t)*sin(2t) của phương trình vi phân
Phương trình đại số theo Y(s) là
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com
+Bước 4 . Tìm hàm gốc y(t) .
Bây giờ ta tiếp tục gõ lệnh inverse laplace rồi nhập biểu thức nghiệm Y(s) vào
** Công cụ Maple .
Tương tự những bước này khi dùng Maple ta thu được nghiệm y(t) , xem worksheet của bài toán ( ver 14 ) .
- Maple và WA đều cùng cho một kết quả chung biểu thức nghiệm của phương trình vi phân c.
- Việc áp dụng WA , Maple giúp chúng ta tiết kiệm thời gian , tính toán nhanh và chính xác các hàm ảnh và gốc của phương trình vi phân .
- Các phần mềm này là công cụ rất tốt để kiểm tra kết quả biểu thức nghiệm của phương trình thu được từ việc tra bảng Laplace - Laplace ngược .
3.2.3 Dùng WA trực tuyến và tra bảng Laplace ngược .
Đối với các phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có vế phải chứa hàm Heaviside hoặc Dirac , vì tính phức tạp của nó , chúng ta có thể kết hợp tra bảng và dùng các phần mềm hỗ trợ ( nhấn mạnh ở đây là việc áp dụng WA trực tuyến ) khi tìm hàm ảnh ( gốc )
Xét bài toán d. trong ví dụ 4 nêu trên
Ta có thể dùng WA trực tuyến tìm hàm gốc y(t) .
Xem http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+&f1=exp%282-2*s%29*%28-s%2F%28s-1%29%5E2%29%2Bexp%282-2*s%29*%281%2F%28s-2%29%29%2B1%2F%28s-2%29&x=13&y=7&f=InverseLaplaceTransformCalculator.transformfunction_exp%282-2*s%29*%28-s%2F%28s-1%29%5E2%29%2Bexp%282-2*s%29*%281%2F%28s-2%29%29%2B1%2F%28s-2%29&f2=s&f=InverseLaplaceTransformCalculator.variable1%5Cu005fs&f3=t&f=InverseLaplaceTransformCalculator.variable2%5Cu005ft
4. Bài tập thực hành .
Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License. -------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
Bài viết khá hay, cám ơn thầy vì bài viết này
Trả lờiXóarất hay ạ cảm ơn thầy rất nhiều
Trả lờiXóaThis is an excellent article. On a daily basis, I learn something new and challenging from the websites I stumble upon. It's always a good idea to read other people's articles and take something from their websites.aviator jacket
Trả lờiXóaI am happy that I read you composed post and it is genuinely pleasant and elegantly composed piece. Jackie Welles Jacket
Trả lờiXóa