GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 4- PHẦN 4 .

   

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 4-

PHẦN 4 . 

Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân cấp cao .
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
-Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .














Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
28/05/2013 .



****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1 . Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân cấp cao .
1.1  Khái niệm .
Nhắc lại :
Như đã trình bày ở Chương 4-Phần 1 - 1.1 , phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng  (1) 

*Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính theo toán tử như sau 

xét  P(x, t) là đa thức theo biến t  với các hệ số là hàm ak (x) , có dạng  

thay biến  t  bằng toán tử vi phân D ta có

**Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là G(x,v(x)) = 0  trong đó 

1.2 Bài toán Cauchy và điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm .

Bài toán Cauchy đặt ra là tìm nghiệm của
 G(x,v(x)) = 0 thỏa mãn các điều kiện :

Nhờ định lý hàm ẩn dưới một số điều kiện  có thể viết lại dưới dạng (2) :

Lưu ý :
+Dạng (1) biểu diễn phương trình tuyến tính cấp cao theo toán tử vi phân  D .
+Dạng (2)  biểu diễn phương trình vi phân hiển cấp n theo biến ( x , u(x)) .
+Dạng (3) gọi là dạng ẩn , biểu diễn phương trình vi phân  cấp cao  G(x,v(x)) = 0  với

+Định lý Péano về sự tồn tại nghiệm .

+Định lý Picard-Lindelof . 
Đưa ra một tiêu chuẩn để phương trình vi phân (2) có nghiệm duy nhất 
*Liên tục Lipschitz . 

Hàm F( x , u(x)) có tính chất trên gọi là liên tục đối với biến u theo nghĩa Lipschitz  .

** Định lý Picard - Lindelof .

Nếu phương trình vi phân (2) thỏa mãn định lý Péano và hơn nữa nếu F liên tục Lipschitz theo u thì   tồn tại nghiệm y = y(x) và nghiệm này là duy nhất .

1.3 Các dạng biểu thức nghiệm của phương trình vi phân cấp cao .
+Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn) xác định trên DxU  khả vi liên tục đến cấp n , gọi là nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) <=>
(i) 

(ii) 
Nghiệm y = y(x,C1,C2,...,Cn)  thỏa mãn (2) với các  Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được ở (i) .
 Để tìm nghiệm tổng quát dạng hiển của (2) ta thay thế  x0 và u0 vào hệ , giải hệ này tìm các giá trị Ck   ( k = 1,2,...,n ) .
+Nghiệm F = F (x,y,C1,C2,...,Cn) = 0 , xác định trên DxU    , gọi là nghiệm tổng quát dạng ẩn của (2) .
+Nghiệm { x = c(t,Ck )  ,  y = x(t,Ck ) với ( k = 1,2,...,n ) } , gọi là nghiệm tổng quát dạng tham số của (2).
+Nghiệm riêng là nghiệm thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof  với các hằng số Ck   ( k = 1,2,...,n )  tìm được khi giải các điều kiện cho trước .

+Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm theo định lý Picard Lindelof ( không bị chặn theo biến u  ) , có thể hiểu tại điểm (x0,u0)  nào đó có nhiều nghiệm của phương trình cùng đi qua  ( Các bạn có thể xem ở Chương 1-Phần 3 từ 1.1 đến 1.3 về tính duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ) .
1.3 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .
+Như đã trình bày ở trên , để khảo sát nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân chúng ta xét vài ví dụ sau đây và từ đó đưa ra cách tìm các nghiệm này trong trường hợp tổng quát .
Ví dụ 1 .
*Chúng ta xem lại một bài toán về duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 ( Chương 1-Phần 3  1.3  2 ) 

a. 

+ Tìm nghiệm của phương trình .
+ Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình với  
x Î[ - 4 , 4 ] . Vẽ đồ thị minh họa .

**Trong các phương trình vi phân sau , hãy tìm nghiệm kỳ dị và vẽ đồ thị nghiệm này .

Lời giải .
a. Các công thức có trong Chương 1-Phần 2   1.  từ 1.1-1.5 .
+Tìm nghiệm phương trình .

+ Kiểm tra tính duy nhất nghiệm của phương trình . Xét 

Tập xác định của phương trình là 
DF = R \ {0} .
Tập xác định của đạo hàm theo y là  
DFy = D = R \ {0} . 
Vậy nghiệm  y = 0 không phải là nghiệm kỳ dị .
Tuy nhiên tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ do hàm không liên tục theo y trên miền cho trước  
DxU = [ - 4 , 4 ] x [ 0 - b , 0 + b ] .

+ Kiểm tra bằng Maple , vẽ đồ thị nghiệm phương trình 


+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (2) ]

+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (2) ]

Nghiệm kỳ dị  khi a = 1 và trường hướng của phương trình vi phân được mô tả trong hình sau đây .

+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (3) ]

+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (3) ]

+Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình  [ dạng (3) ]

1.4 Cách tìm nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .
+Qua những bài toán ở ví dụ 1 ta đưa ra cách tìm nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân như sau .
1.4.1  Đối với (2) là dạng hiển cấp n theo biến        ( x , u(x)) .

+ Cấp 1 : 

+ Cấp 2 : 

_Lưu ý : 
Đối với phương trình vi phân cấp lớn hơn 1 , ngoài việc xác định nghiệm kỳ dị như trên cần kiểm tra chi tiết bằng cách giải bằng phương pháp giải tích , giải số hoặc định tính để có thêm nhận xét chính xác .
1.4.2  Đối với (3) là dạng ẩn cấp n theo biến        ( x , u(x)) .


+ Cấp 1 : 

+ Cấp 2 : 

1.4.3  Đối với dạng tích phân tổng quát .
Trường hợp đặc biệt đối với phương trình vi phân cấp cao biết trước dạng tích phân tổng quát ( hay nghiệm tổng quát dạng ẩn ) là 
 F( x , y , C ) = 0 , khi đó nghiệm kỳ dị chính là bao hình của họ nghiệm này . Các bước giải như sau :

1.5 Vài ví dụ về nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp cao .
Tìm nghiệm kỳ dị của các phương trình vi phân sau đây 

Lời giải .

Một cách tìm nghiệm kỳ dị của phương trình b. là dựa vào điều kiện không tồn tại của y"  ( hay y"  gián đoạn ) được trình bày dưới đây .

Trong bài toán c. chúng ta sẽ gặp phải tình huống khá phức tạp khi tìm nghiệm kỳ dị . Ngoài việc áp dụng đúng các phương pháp đã đưa ra thì cần phải xét thêm những trường hợp đặc biệt khác , đồng thời vận dụng linh hoạt các cách giải để tìm được nghiệm kỳ dị cho phương trình vi phân .             

Trường hợp đặc biệt 

Điểm lưu ý là phương trình c. không có nghiệm hiển giải tích , vì vậy chúng ta sẽ khảo sát nghiệm dạng chuỗi . 

Qua nhận định trên chúng ta có thể kết luận phương trình c.  có nghiệm kỳ dị là y(x) = 0    . 

Tương tự chúng ta áp dụng dạng 1.4.3  để tìm nghiệm kỳ dị , sau đó các bạn dùng Maple tìm nghiệm tổng quát và minh họa trường hướng của phương trình vi phân cho bài toán f. 

 2 . Lý thuyết tổng quát 
-Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
2.1  Khái niệm .
Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao có dạng  (1) 

2.2  Độc lập tuyến tính - định thức Wronski .
2.2.1 Độc lập tuyến tính .
Giả sử { y1 , y2 , ... , yn }  là n nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao (1) . Ta nói hệ 
{ y1 , y2 , ... , yn } là độc lập tuyến tính <=>  Với mọi bộ số thực tùy ý  
{ C1,C2,...,Cn }  nếu   C1y1  + C2y2  + ... + Cn yn  =  0  thì C1  =  C2  =  ... = Cn = 0  ( đồng thời = 0 )

* Nếu   C1y1  + C2y2  + ... + Cn yn  =  0  với một bộ 
{ C1,C2,...,Cn } nào đó không đồng thời bằng 0 thì ta nói hệ { y1 , y2 , ... , yn } là phụ thuộc tuyến tính .

** Nếu mọi nghiệm riêng y của (1)  đều có thể khai triển  y  = C1y1  + C2y2  + ... + Cn yn   với bộ số thực 
{ C1,C2,...,Cn } , ta nói hệ { y1 , y2 , ... , yn } là cơ sở của không gian vector nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp n .

2.2.2 Định thức Wronski .
+Giả sử hệ { y1 , y2 , ... , yn } là cơ sở của phương trình vi phân tuyến tính (1)  khi đó định thức Wronski khác 0 .

Xem Chương 4 - Phần 1 - 4.3
+Định lý .
Phương trình vi phân (1) nếu thỏa mãn điều kiện định thức Wronski khác 0 thì tồn tại hệ cơ sở 
{ y1 , y2 , ... , yn } . Khi đó mọi nghiệm riêng của (1) có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính dựa trên hệ cơ sở . 

+Định lý Abel .
Xét phương trình vi phân thuần nhất của (1) (  R(x)  =  0  ) .  Gọi W là định thức Wronski của hệ nghiệm cơ sở , ta có đồng nhất thức Abel như sau 

Trong phần tiếp theo chúng ta quan tâm đến phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng và tóm tắt các thuật giải đã trình bày ở các phần trước . 
2.3  Các phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng .
2.3.1 Phương pháp tìm nghiệm thuần nhất   .
Xem Chương 4 - Phần 1 - 2.1.1 .
*Công thức của nghiệm thuần nhất .
a. Phương trình đặc trưng có nghiệm thực - riêng biệt .
+Khi phương trình đặc trưng  P(m)  =  0   có n nghiệm thực mk , k = 1,..,n  riêng biệt  .
Nghiệm thuần nhất là  

b. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức .

+Khi  P(m)  =  0   có k nghiệm phức mk , k = 1, 2,...
Nghiệm thuần nhất là  

c. Phương trình đặc trưng có nghiệm bội .
+Khi  P(m)  =  0   có nghiệm thực bội cấp p  là mp   
Nghiệm thuần nhất tương ứng  

+Khi  P(m)  =  0   có nghiệm phức bội cấp p  là mp   
Nghiệm thuần nhất tương ứng 

2.3.2 Phương pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng .
Xem Chương 4 - Phần 1 - 3 . 3.1 .
Phương pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng ( Undetermined Coefficients ) .
*Công thức .
Tìm nghiệm riêng cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao  (1)
                   P(D)(y)  =  R(x)   
ta dựa vào vế phải của phương trình . 
+Chọn hàm tương ứng với các hệ số bất định . 
+Thay nghiệm riêng vào phương trình , thực hiện đồng nhất hệ số hai vế để tìm được hệ phương trình chứa các hệ số đó  ( Xem thêm ở Chương 2 - Phần 4 - 4 ) .

2.3.3  Phương pháp biến thiên tham số tìm nghiệm riêng .
Xem Chương 4 - Phần 1 - 4 . 4.1 .
Phương pháp biến thiên tham số tìm nghiệm riêng   ( Variation of Parameters ) .
*Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2  .
Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 
                   P(D)(y)  =  R(x)   
được tìm bằng phương pháp biến thiên tham số  như sau .

+Tìm nghiệm thuần nhất  yTN  của phương trình .

Lưu ý rằng phương pháp biến thiên tham số  không cần các điều kiện đầu hoặc biểu thức hàm R(x) mà chỉ phụ thuộc vào phép tính tích phân .

2.3.4   Phương pháp toán tử vi phân ngược .
Xem Chương 4 - Phần 2 - 2.1 và 2.2 .
*Áp dụng toán tử vi phân ngược nhận dạng hàm cơ sở  .
Bước 1 .  Tìm nghiệm thuần nhất yTN của phương trình vi phân cấp cao .
Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình vi phân cấp cao bằng cách :
1. Tác động toán tử vi phân ngược cho 2 vế phương trình ( dùng khai triển Taylor cho biểu thức toán tử vi phân ngược ) nhận dạng các hàm cơ sở .
2. Khi có được hệ cơ sở , ta biểu diễn yR qua các hàm cơ sở  với các hệ số  chưa biết thay vào phương trình vi phân rồi dùng phương pháp đồng nhất hệ số .

Nghiệm tổng quát của phương trình là 

yTQ  =  yR  +  yTN

**Giải trực tiếp phương trình vi phân tuyến tính cấp cao .
Bước 1 .  Tìm nghiệm thuần nhất yTN của phương trình vi phân .

Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình cấp cao bằng toán tử vi phân ngược .

Nghiệm tổng quát của phương trình là 

yTQ  =  yR  +  yTN

2.3.5   Phương pháp biến đổi Laplace .
Xem Chương 4 - Phần 3 - 3.1
Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace .


*Phương pháp chung .
Các bước giải chính của phương pháp này gồm :
+Bước 1 : 
Áp phép biến đổi Laplace vào 2 vế phương trình vi phân thu được phương trình đại số theo biến Y(s) .
+Bước 2 :
Dùng các phép toán đại số thông thường tìm nghiệm Y(s) .
+Bước 3 :
Áp phép biến đổi Laplace ngược vào Y(s) ta tìm được nghiệm của phương trình vi phân .

Về mặt kỹ thuật ta có thể tiến hành các lớp thuật giải như 
Dùng bảng Laplace - Laplace ngược .
Dùng WA trực tuyến và Maple Worksheet .
Dùng WA trực tuyến và tra bảng Laplace ngược .


3 . Các dạng phương trình vi phân giảm cấp .
3.1  Phân loại .
 Một cách tổng quát có thể nói rằng việc giải các phương trình vi phân cấp cao khá phức tạp , nhất là các dạng phi tuyến . Vì vậy ta sẽ khảo sát qua một số phương trình đặc biệt có thể giảm cấp và những giải thuật tương ứng . Các dạng phương trình giảm cấp gồm có :
+ Dạng khuyết .
Các phương trình hoặc thiếu biến số độc lập x , thiếu ẩn hàm y(x) hoặc thiếu các đạo hàm cấp thấp . 
+ Dạng thuần nhất .
Các phương trình có thể đưa về dạng thuần nhất với  ẩn hàm và các đạo hàm của nó , hoặc dạng thuần nhất suy rộng .
+ Dạng đạo hàm đúng .
Các phương trình có thể quy về một đạo hàm đúng theo ẩn hàm hoặc biến số độc lập .

3.2  Cách giải .
 3.2.1  Dạng khuyết .
a. Dạng khuyết ẩn hàm và các đạo hàm cấp thấp .  $F(x,y^{(n)}(x))=0$
Xét phương trình vi phân a. 
+Trường hợp 1 : biến độc lập và ẩn hàm được viết theo tham số .
$\left\{\begin{matrix} x=\chi (t)\\y^{(n)}=\xi (t) \end{matrix}\right.$
$dy^{(n-1)}=y^{(n)}dx=\xi (t)\chi '(t)dt$ 
Tích phân 2 vế , thu được 
$y^{(n-1)}=\int \xi (t)\chi '(t)dt+C_{1}=\Psi _{1}(t,C_{1})$ 
Tương tự ta tính được $y^{(n-2)},y^{(n-3)}...$.
Nghiệm của phương trình viết dạng tham số 
$\left\{\begin{matrix} x=\chi (t)\\y=\Psi_{n} (t,C_{1},C_{2},...,C_{n})\end{matrix}\right.$ 

Xem tiếp :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/p/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html




This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
 Albert Einstein .

$$(a+b)^{2009}$$ ;  $$\sqrt[3]{x^2-1}$$ ;  $$\int_{1}^{3}\sqrt{3x-1}dx$$ ; 
$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-6x+8}{x^4-16}$$
$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ (x^{ 2 } } -sinx){ e }^{ x }dx$$

Lệnh toán học	Công thức toán tương ứng	Minh họa
(cơ số)^{số mũ}	(cơ số)số mũ	(a+b)2011
x_{chỉ số dưới}	xchỉ số dưới	x2011
\sqrt{biểu thức dưới căn}	biểu thức dưới căn−−−−−−−−−−−−−−−√	2011−−−−√
\sqrt[bậc n]{biểu thức dưới căn}	biểu thức dưới căn−−−−−−−−−−−−−−−√bậc n	2011−−−−√3
\frac{tử số}{mẫu số}	tử sốmẫu số	a−ba+b
\sin (biểu thức)	sin(biểu thức)	sin(3a+b)
\cos (biểu thức)	cos(biểu thức)	cos(a+3b)
\tan (biểu thức)	tan(biểu thức)	tan(a−3b)
\cot (biểu thức)	cot(biểu thức)	cot(3a−b)
\log_{cơ số} (biểu thức)	logcơ số(biểu thức)	log4(1+3x−−√)
\ln (biểu thức)	ln(biểu thức)	ln(3x−1−−−−−√+2)
\int_{cận dưới}^{cận trên}f(x)dx	∫cận trêncận dướif(x)dx	∫313x−1−−−−−√dx
\rightarrow	→	(∗)→(∗∗)
\Rightarrow	⇒	(∗)⇒(∗∗)
\leftarrow	←	(∗)←(∗∗)
\Leftarrow	⇐	(∗)⇐(∗∗)
\Leftrightarrow	⇔	(∗)⇔(∗∗)
\begin{cases}Phương trình (1)\\Phương trình (2)\end{cases}	{Phương trình (1)Phương trình (2)	{x−y=0x+y=4