VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC .
1.1.8 Động học và phép toán vi tích phân
Khi gia tốc là hằng số
Phương trình chuyển động thứ 1.
Phép tính vi tích phân là một chủ đề toán học cao cấp và khá phức tạp , nhưng khi trích xuất các ý tưởng để thu được những phương trình chuyển động thì công việc này lại đơn giản hơn nhiều. Theo định nghĩa, gia tốc là đạo hàm cấp một của vận tốc theo thời gian.
$a = \frac{dv}{dt}$ ,
và trong bối cảnh này chúng ta sẽ xét đến trường hợp đặc biệt : khi gia tốc là hằng số . Thay vì đạo hàm vận tốc để tìm gia tốc , chúng ta sẽ tích phân gia tốc để tìm vận tốc. Điều này mang lại cho chúng ta phương trình vận tốc-thời gian.
Hãy xem các bước tính sau đây
$a = \frac{dv}{dt}$
$dv = a.dt$
$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{t_{0}}^{t}adt$
$v-v_{0}=a(t-t_{0})=a.\Delta t$
Hay $v=v_{0}+a.\Delta t$ đây chính là phương trình chuyển động thứ nhất
Khi $t_{0} = 0 $ ta có $v=v_{0}+a. t$
Phương trình chuyển động thứ 2. Một lần nữa, theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm cấp một của dịch chuyển theo thời gian. Thay vì đạo hàm dịch chuyển để tìm vận tốc, ta tích phân vận tốc để tìm dịch chuyển .
Hay $x=x_{0}+v_{0}\Delta t + 1/2 a.\Delta t^2$ đây chính là phương trình chuyển động thứ hai
Khi $t_{0} = 0 $ ta có $x=x_{0}+v_{0} t + 1/2 a. t^2$
Phương trình chuyển động thứ 3. Quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển sẽ được tìm từ vi phân của vận tốc $v$ theo biến dịch chuyển $x$ .
Ta có $\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dt}.\frac{dt}{dx}=a.\frac{1}{v}$
$v.dv=a.dx$
$\int_{v}^{v_{0}}v.dv = \int_{x}^{x_{0}}a.dx$
Hay $½ . (v^2-v_{0}^2)= a.(x-x_{0})$
Phương trình chuyển động thứ ba tìm được là
$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$
Khi gia tốc khác hằng số
Các phương trình chuyển động thể hiện ở trên áp dụng khi gia tốc là không đổi. Để giải quyết một số bài toán chuyển động có gia tốc không phải là hằng số chúng ta sẽ đưa ra một khái niệm mới - độ giật (jerk) . Một cách vắn tắt độ giật là mức độ thay đổi của gia tốc theo thời gian.
$v-v_{0}= a_{0}(t-t_{0})+1/2j(t-t_{0})^2 = a_{0}\Delta t +1/2j \Delta t^2$ hay
$v= v_{0} + a_{0}\Delta t +1/2j \Delta t^2$
Khi $t_{0}=0$ thì $v= v_{0} + a_{0} t +1/2j t^2$
* Từ định nghĩa của vận tốc
$v = \frac{dx}{dt}$ hay $dx = v.dt$ thay $v= v_{0} + a_{0} t +1/2j t^2$
$dx = ( v_{0} + a_{0} t +1/2j t^2).dt$ tích phân 2 vế
$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t}( v_{0} + a_{0} t +1/2j t^2).dt$
$x-x_{0}=v_{0}(t-t_{0})+1/2a_{0}(t-t_{0})^2+1/6j(t-t_{0})^3 = v_{0}\Delta t +1/2a_{0}\Delta t^2+1/6j \Delta t^3 $
Hay $x = x_{0}+ v_{0}\Delta t +1/2a_{0}\Delta t^2+1/6j \Delta t^3 $
Khi $t_{0}=0$ thì $x = x_{0}+ v_{0} t +1/2a_{0} t^2+1/6j t^3 $
Tóm tắt :
Bảng công thức trên cho ta cách tính các giá trị rời rạc của độ giật , gia tốc , vận tốc và dịch chuyển $j , a , v , x $ trong trường hợp gia tốc khác hằng số .
Câu hỏi
1. Phương trình dịch chuyển của vật thể chuyển động theo thời gian t trong khoảng từ 0 đến 8 s như sau
$ x = t^3 - 12.t^2 + 30.t $
Trong đó x có đơn vị là m .
Hãy tính :
a. Vận tốc của vật thể .
b. Gia tốc của vật thể .
c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó
f. Vận tốc trung bình của đối tượng
g.Tốc độ trung bình của đối tượng
Lời giải
Đồ thị dịch chuyển-thời gian
a. b. Vận tốc của vật thể : $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30 (m/s)$
Gia tốc của vật thể : $a = dv/dt = 6t - 24t (m/s^2) $
c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
Từ biểu thức vận tốc $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30 (m/s)$ đây là hàm số bậc hai , giải phương trình đạo hàm của vận tốc bằng 0 . Ta có
$v'(t) = 6t - 24 = 0 $
$ t = 4 $
Lập bảng biến thiên của hàm $v(t)$
Từ bảng này ta nhận được
Vận tốc cực đại : $v_{MAX} = 30 (m/s)$
Vận tốc cực tiểu : $v_{MIN} = -18 (m/s)$
d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
Hướng chuyển động phụ thuộc vào dấu của vận tốc . Ta lập bảng xét dấu và khảo sát đồ thị vận tốc $v(t)$
Thời gian vật chuyển động ngược hướng : $ t \in [1.55 , 6.45] $
e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó .
Vị trí ban đầu của vật thể tại $t=0$ là $x(0)=0$
Tìm thời gian trở về vị trí bắt đầu nghĩa là giải phương trình $x(t)=x(0)=0$
Trên khoảng $t \in [0,1.55]$ : khoảng cách vật đi được là $\Delta S_{1}= x(1.55)-x(0) = 21.39$
Trên khoảng $t \in [1.55 , 6.45]$ : khoảng cách vật đi được là $\Delta S_{2}= x(6.45)-x(1.55) = -37.39-21.39 = -58,78 $
Trên khoảng $t \in [6.45 , 8]$ : khoảng cách vật đi được là $\Delta S_{3}= x(8)-x(6.45) = -16 -(-58.78) = 42.78$
Tổng khoảng cách là $\Delta S =\Delta S_{1} + |\Delta S_{2}| + \Delta S_{3} = 21.39 + 58,78 +42.78 = 122,95 (m)$
Tốc độ trung bình của đối tượng : $\bar{V} = \Delta S/ \Delta t = 122,95 / 10 = 15,37 (m/s)$
2. Đồ thị sau đây biểu diễn gia tốc rời rạc của thang máy thủy lực của tòa nhà 4 tầng . Đồ thị bắt đầu ở $t = 0 s$ khi của thang máy đóng lại ở tầng 2 , dừng lại ở $t = 20 s$ khi cửa thang máy mở ra ở một tầng khác . Hướng dương của dịch chuyển , vận tốc và gia tốc là hướng lên trên .
Hãy xác định :
a. Tốc độ cực đại của thang máy .
b. Khoảng thời gian thang máy có độ giật nhỏ ở 17.5 s
c. Vẽ đồ thị vận tốc-thời gian
d. Vẽ đồ thị dịch chuyển-thời gian .
VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC .
1.1.7 Đồ thị chuyển động
Ký hiệu và đồ thị
Như chúng ta đã biết ở 1.1.6 , dùng các ký hiệu toán học hiện đại là một cách rất gọn và đơn giản để mã hóa các ý tưởng. Khi nói đến chiều sâu của ý tưởng vật lý , không gì tốt hơn là biểu diễn nó dưới dạng một hay nhiều phương trình. Những phương trình đó có thể dễ dàng chứa các thông tin tương đương với một số mệnh đề phức tạp và thậm chí là dài dòng . Mô tả của Galileo về một đối tượng di chuyển với tốc độ không đổi (có lẽ là ứng dụng đầu tiên của toán học đối với chuyển động) đã phải cần đến một định nghĩa, bốn tiên đề, và sáu định lý . Tất cả những mối quan hệ đó có thể được viết bằng một phương trình duy nhất hết sức gọn gàng .
$\bar{v}= \frac{Δ s}{Δ t}$
Để mô tả hiện tượng vật thể chuyển động một chiều với gia tốc hằng - còn gọi là chuyển động đều , người ta biểu diễn bằng 3 phương trình chuyển động với các điều kiện cho trước bằng các ký hiệu toán học .
Điều kiện cho trước
$t_{0}=0 , x_{0}=0 $ và $u=v_{0}$
Phương trình thứ nhất $v= u +a. t$ , nêu lên mối quan hệ giữa vận tốc-thời gian ${v,u,a,t}$
Phương trình thứ hai
$x = u. t + ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc sau v ) chỉ ra mối quan hệ giữa dịch chuyển-thời gian ${x,u,v,a,t}$
Phương trình thứ ba
$v^2 = u^2 + 2.a.x$ cho thấy liên hệ giữa vận tốc-dịch chuyển ${v,u,a,x}$
Những phương trình chuyển động này nếu phải viết dưới dạng văn bản theo Galileo, có lẽ phải trình bày một cách rất rườm rà , phức tạp . May thay các ký hiệu toán học đã biểu diễn toàn bộ các ý tưởng quan trọng của vật thể chuyển động đều một cách rất đầy đủ và súc tích .
Những tiện ích của việc dùng ký hiệu toán học trong việc mô tả các hiện tượng khoa học tự nhiên nói chung và riêng ở môn vật lý là không thể chối cãi . Tuy nhiên người ta còn sử dụng các phương pháp khác như như phim ảnh , đồ thị trong việc dẫn giải hoặc thuần túy chỉ là để quan sát những gì đang xẩy ra . Một cách tổng quát một hình ảnh có chức năng biểu diễn cho công thức hay một phương trình toán học được gọi là một đồ thị. Đồ thị thường đượcxem là cách tốt nhất để truyền tải các mô tả của các sự kiện , hiện tượng trong thế giới thực theo một hình thức nhỏ gọn.
Đồ thị của chuyển động thường có một số dạng phụ thuộc vào các đại lượng động học (thời gian, dịch chuyển , vận tốc, gia tốc) được gán cho một trục nào đó . Các ví dụ trong 1.1.5 cũng đã cho chúng ta thấy vài nét sơ lược về các tính năng của đồ thị vận tốc-thời gian và dịch chuyển -thời gian .
Đồ thị dịch chuyển-thời gian Để tìm hiểu về đồ thị dịch chuyển-thời gian chúng ta sẽ bắt đầu với công thức vận tốc của vật thể chuyển động . Từ $\bar{v}=\frac{\Delta S}{\Delta t}$ , nếu $t_{0}=0$ ta sẽ viết lại như sau
$x - x_{0} =\bar{v}. t $
hay $S = S_{0} + \bar{v}.t$
Khi đó biểu thức $S=S(t)= S_{0} + \bar{v}.t$ mô tả quan hệ bậc nhất dịch chuyển - thời gian .
Để khảo sát đồ thị hàm $S=S(t)$ , với trục tung được gán cho dịch chuyển $S$ , chúng ta dễ dàng liên hệ đến đồ thị của hàm số bậc nhất $y = b + ax$ có dạng là một đường thẳng . Hệ số a và b tương ứng chỉ về độ dốc ( hay hệ số góc ) và tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .
Trong hàm dịch chuyển bậc nhất $S = S_{0} + \bar{v}.t$
- Độ dốc là $\bar{v}$ : vận tốc - chỉ mức độ nhanh chậm của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả chuyển động của đối tượng theo hướng dương ( hoặc hướng âm ) .
- Tung độ gốc là $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu - xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số $S=S(t)$ là đường thẳng - chỉ ra rằng vận tốc không đổi , gia tốc bằng 0 .
Tuy nhiên , biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$ có thể là một hàm số bậc hai , như các bạn đã biết phương trình chuyển động đều thứ hai có dạng
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$
Trong đó $ x_{0}$ là dịch chuyển ban đầu , nếu $t_{0}=0$ ta sẽ viết lại như sau
$x = x_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
hay $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$ mô tả quan hệ bậc hai dịch chuyển - thời gian .
Đồ thị hàm $S=S(t)$ là một parabola có dạng tổng quát $y= c + bx + ax^2$ .
Hệ số $a<0$ chỉ độ cong lồi ( đồ thị có điểm cực đại ) , trong khi $a>0$ chỉ độ cong lõm của parabola ( đồ thị có điểm cực tiểu ) .
Hệ số b chỉ về vị trí của điểm cực trị và sự nâng của đường parabola , Nếu $b<0$ ( hoặc $b>0$ ) điểm cực trị nằm về phía bên phải (hoặc bên trái ) trục tung .
Nếu $a>0$ thi khi $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng hạ xuống (hoặc nâng lên ) .
Ngược lại , nếu $a<0$ thì khi $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng nâng lên (hoặc hạ xuống ) .
Hệ số c là tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .
Trong hàm dịch chuyển bậc hai $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
- Hệ số a : Gia tốc $a<0$ ( hay $a>0$ ) chỉ độ cong lồi ( hay lõm ) - cho biết giá trị cực đại ( hoặc cực tiểu ) của dịch chuyển của đối tượng chuyển động .
- Tung độ gốc là $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu - xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số $S=S(t)$ là đường parabola - chỉ ra rằng gia tốc không đổi .
Trường hợp tổng quát biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$ là một hàm số tùy ý , đồ thị dịch chuyển -thời gian không cho chúng ta biết vận tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng vận tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $S(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính vận tốc trung bình $\bar{v}$ trong khoảng thời gian 10s .
$\bar{v}= \frac{\Delta S}{\Delta t}= \frac{9.5}{10}= 0.95 m/s$
Vận tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $S(t)$ là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .
$v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{dS}{dt}$
Như vậy vận tốc tức thời $v(t)$ là đạo hàm bậc nhất của hàm khoảng cách $S(t)$ đối với thời gian t.
Bảng số liệu vận tốc tức thời của chuyển động cho trong bảng sau đây chỉ ra sự thay đổi độ dốc ( giá trị đạo hàm của $S(t)$ ) của các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị $S(t)$
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị dịch chuyển-thời gian . - Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là vận tốc . - Độ dốc dương (âm) biểu thị cho chuyển động theo hướng dương (âm) . - Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động ở trạng thái nghỉ . - Tung độ gốc là dịch chuyển ban đầu . - Đường thẳng biểu diễn chuyển động có vận tốc hằng . - Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc . - Một phần của parabola biểu diễn chuyển động có gia tốc hằng (đều) . - Vận tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong S(t) . - Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong S(t) . - Diện tích giới hạn bởi S(t) và trục thời gian không có ý nghĩa .
Đồ thị vận tốc-thời gian Điều cần thiết nhất khi khảo sát một đồ thị vận tốc -thời gian là phân biệt sự khác nhau giữa đồ thị dịch chuyển-thời gian và đồ thị vận tốc thời gian . Lúc này trục tung biểu thị số liệu vận tốc của vật thể chuyển động . Trong đồ thị này giá trị v nào lớn hơn mô tả trạng thái chuyển động có vận tốc nhanh hơn . Xét phương trình chuyển động đều thứ nhất $v= u +a. t$ , mô tả quan hệ giữa vận tốc-thời gian ${v,u,a,t}$ .
Hàm vận tốc $v =u +a. t$ như trên có dạng hàm số bậc nhất $y = b + ax$ và đồ thị là một đường thẳng . Các tính chất đặc trưng của hàm vận tốc bậc nhất này có những điểm tương tự như đã khảo sát ở hàm dịch chuyển bậc nhất ở phần trên .
Trong hàm vận tốc bậc nhất $v = v_{0} + \bar{a}.t$
- Độ dốc là $\bar{a}$ : gia tốc - chỉ mức độ gia tốc của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả sự tăng ( hoặc giảm ) vận tốc của đối tượng .
- Tung độ gốc là $v_{0}$ : vận tốc ban đầu - xác định vận tốc của đối tượng trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số $v=v(t)$ là đường thẳng - chỉ ra rằng gia tốc không đổi (đều) .
Trường hợp tổng quát biểu thức vận tốc-thời gian $v=v(t)$ là một hàm số tùy ý , tương tự như trường hợp dịch chuyển-thời gian , đồ thị vận tốc -thời gian không cho chúng ta biết gia tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng gia tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $v(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính gia tốc trung bình $\bar{a}$ trong khoảng thời gian 10s .
Gia tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $v(t)$ là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .
$a(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$
Như vậy gia tốc tức thời $a(t)$ là đạo hàm bậc nhất của hàm vận tốc $v(t)$ đối với thời gian t.
Hình động dưới đây mô tả gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến (màu xanh dương) với đường cong $v(t)$ (màu đỏ) . Đồ thị gia tốc $a(t)$ có màu xanh lá cây .
Hãy xét ví dụ dưới đây minh họa các tham số động học từ đồ thị vận tốc-thời gian .
Một vận động viên trượt tuyết thực hiện cự ly thi đấu với các số liệu đo được như sau
Hãy tính :
- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên .
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s .
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên .
- Tổng cự ly đã trượt .
- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên : $\bar{a}_{[0,8]}= \frac{v_{A}-v_{0}}{\Delta t}=(16-0)/8=2 m/s^2$
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s : $\bar{a}_{[8,20]}= \frac{v_{C}-v_{A}}{\Delta t}=(20-16)/12=0.33m/s^2$
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên : $S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
- Tổng cự ly đã trượt : $S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}$
$S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
$S_{xanh dương}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{A}+v_{B}) . (16-8) = ½ (16+20) .8 =144 m$
$S_{xanh cây}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{B}+v_{C}) . (20-16) = ½ (20+20) .4 =80 m$
Vậy
$S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}= 64m+144m+80m= 288m$
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị vận tốc-thời gian . - Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là gia tốc . - Độ dốc dương (âm) biểu thị cho sự tăng tốc theo hướng dương (âm) . - Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động có vận tốc hằng . - Tung độ gốc là vận tốc ban đầu . - Đường thẳng biểu diễn chuyển động có gia tốc đều . - Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc không đều . - Gia tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong v(t) . - Gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong v(t) . - Diện tích giới hạn bởi v(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi dịch chuyển .
Đồ thị gia tốc-thời gian
Trong đồ thị gia tốc-thời gian trục tung biểu diễn gia tốc ($m/s^2$) và trục hoành biểu diễn thời gian (s) . Để ý rằng biểu đồ gia tốc-thời gian của bất kỳ đối tượng nào dịch chuyển với một vận tốc không đổi là như nhau. Điều này đúng bất kể vận tốc của các đối tượng như thế nào . Một chiếc xe hơi chạy với vận tốc hằng 60 mph (27 m / s), một người đi bộ với một tốc độ hằng 8 km/h tất cả đều có cùng đồ thị gia tốc-thời gian - biểu diễn bởi một đường thẳng ngang trùng với trục hoành ( trục thời gian t ). Vì tốc độ của mỗi đối tượng trên là không đổi nên các gia tốc này bằng không .
Gia tốc và vận tốc là hai đại lượng khác nhau . Đi nhanh không hàm ý tăng tốc nhanh . Một vật thể chuyển động có gia tốc lớn tương ứng với một sự thay đổi nhanh chóng về vận tốc, nhưng nó không cho bạn biết gì về giá trị của vận tốc của riêng vật thể đó . Khi gia tốc là hằng số, đồ thị gia tốc-thời gian là một đường thẳng song song với trục hoành . Mức độ thay đổi của gia tốc theo thời gian là một đại lượng vô nghĩa nên độ dốc của đường cong trên đồ thị này không có ý nghĩa. Gia tốc có thể thay đổi và không cần phải là đại lượng liên tục, nhưng mức độ của sự thay đổi của gia tốc theo thời gian là khái niệm không có trong vật lý .
Hình động dưới đây mô tả mối liên hệ giữa dịch chuyển - vận tốc - gia tốc theo biến thời gian .
Từ trái sang phải biểu thị phép toán đạo hàm - độ dốc của tiếp tuyến (derivative) , từ phải sang trái biểu thị phép toán tích phân -diện tích giới hạn bởi đường cong (integral) .
Để làm rõ sự liên hệ này chúng ta xét một ví dụ hình học dưới đây .
Xét chuyển động của một vật thể với vận tốc từ 165 m /s đến mức tối đa là 250 m / s, biểu diễn bởi đồ thị (a) , (b) , (c) . Đồ thị (a) minh họa dịch chuyển S ( km ) - thời gian t (s)
Thời gian đầu là $t_{0}=0 $ tương ứng với dịch chuyển ban đầu và vận tốc là 2.9 km và 165 m / s . Độ dốc của S theo thời gian t chính là vận tốc $v$ ( xem hình (b) ) .
Biểu đồ vận tốc tăng cho đến khi t = 55 s , sau đó, độ dốc không đổi . Gia tốc $a$ giảm dần từ $5.0 m /s^2$ đến $0 m/s^2$ khi vận tốc máy bay chạm mốc 250 m /s ( xem hình (c) ) .
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị gia tốc-thời gian . - Độ dốc tại một điểm trên đồ thị không có ý nghĩa . - Độ dốc bằng 0 chuyển động có gia tốc không đổi . - Tung độ gốc là gia tốc ban đầu . - Đường thẳng ngang biểu diễn chuyển động có gia tốc đều . - Diện tích giới hạn bởi a(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi vận tốc .
Để kết thúc bài viết từ các tóm tất tính chất của 3 loại đồ thị nêu trên chúng ta có bảng so sánh sau đây
Câu hỏi .
1. Biểu đồ dịch chuyển-thời gian sau đây mô tả quan hệ dịch chuyển-thời gian chỉ rõ sự tăng giảm hoặc không dịch chuyển của đối tượng được quan sát . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDE , bạn hãy cho biết những thông tin :
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AB , BC , CD , DE .
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AC , BD , AD , BE .
- Vận tốc trung bình trong 1 phút , 3phút , 4 phút , 5 phút .
- Vận tốc trung bình trên đoạn AC , AD , BC , BD .
- Thời gian nghỉ của đối tượng .
- Trên đoạn nào đối tượng có chuyển động ngược chiều .
- Trên đoạn nào đối tượng có tốc độ lớn nhất , nhỏ nhất .
2. Biểu đồ vận tốc-thời gian dưới đây mô tả quan hệ vận tốc-thời gian chỉ rõ trạng thái tăng , giảm tốc và không gia tốc . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDEFGH , bạn hãy chỉ ra những đoạn nào chỉ về :
- Tăng tốc , giảm tốc và không gia tốc .
- Thời gian tăng tốc .
- Vận tốc lúc 3s , 7s , 9s .
- Vận tốc cuối là bao nhiêu ?
3. Chuỗi đảo Hawaii bao gồm nhiều hòn đảo có thể quan sát. Nó cũng bao gồm các dãy núi biển Emperor . (Núi biển là những hòn đảo đã bị xói mòn nằm dưới mực nước biển.) Các chuỗi Hawaii-Emperor kết hợp là một loạt các cấu trúc núi lửa hình thành bởi một chùm đơn lẻ magma tồn tại rất lâu được gọi là một "điểm nóng". Các điểm nóng này cố định lại khi các tầng địa chất Thái Bình Dương từ từ di chuyển qua nó, kết quả hình thành nên một chuỗi núi lửa trải dài từ quần đảo Aleutian ngoài khơi bờ biển Alaska đến núi Kilauea trên Đảo Lớn của Hawaii. Sử dụng dữ liệu trong bảng dưới đây để xác định tốc độ của tầng địa chất Thái Bình Dương. Các cột trong tập dữ liệu này như sau:
1. Số núi lửa
2. Tên núi lửa
3. Tuổi núi lửa (hàng triệu năm)
4. Khoảng cách từ Kilauea (km)
5. Phỏng định độ tuổi (hàng triệu năm)
6. Phỏng định khoảng cách (km)
Số Tên núi lửaTuổi núi lửa Khoảng cách từ Kilauea Phỏng định độ tuổi± Phỏng định khoảng cách± (Ma) (km) (Ma) (km)
Nguồn: DA Clague & BG Dalrymple. "Kiến tạo địa chất, địa mạo và nguồn gốc của các dãy núi lửa Hawaii-Emperor." Đông Thái Bình Dương và Hawaii . Eds., EL Winterer, DM Hussong, RW Decker. Boulder, CO: Geological Society of America (1989): 188-217.
4. Đồ thị sau mô tả vận tốc như một hàm số theo thời gian của vật thể đang được quan sát . Dựa vào bảng so sánh để
a. Giải thích tính chất của chuyển động vật thể .
b. Vẽ đồ thị dịch chuyển-thời gian và gia tốc-thời gian tương ứng .
Lời giải .
a. Giải thích tính chất của chuyển động vật thể .
b. Vẽ đồ thị dịch chuyển-thời gian và gia tốc-thời gian tương ứng .
Tính gia tốc chuyển động bằng độ dốc $a = \frac{s}{t}$
Trên đoạn AB : $a = \frac{vB-vA}{\Delta t}= \frac{-4-4}{8-0}=-1 m/s^2$
Trên đoạn BC : $a = \frac{vC-vB}{\Delta t}= \frac{-4-(-4)}{12-8}= 0 m/s^2$
Trên đoạn CD : $a = \frac{vD-vC}{\Delta t}= \frac{0-(-4)}{16-12}= 1 m/s^2$
Trên đoạn DE : $a = \frac{vE-vD}{\Delta t}= \frac{0-0}{20-16}= 0 m/s^2$
Trên đoạn EF : $a = \frac{vF-vE}{\Delta t}= \frac{4-0}{24-20}= 1 m/s^2$
Trên đoạn FG : $a = \frac{vG-vF}{\Delta t}= \frac{4-4}{30-24}= 0 m/s^2$
Biểu đồ gia tốc-thời gian của các đoạn tương ứng
Trên đoạn AB : $a = -1 m/s^2$
Trên đoạn BC : $a = 0 m/s^2$
Trên đoạn CD : $a = 1 m/s^2$
Trên đoạn DE : $a = 0 m/s^2$
Trên đoạn EF : $a = 1 m/s^2$
Trên đoạn FG : $a = 0 m/s^2$
Để có dịch chuyển ta tính diện tích giới hạn bởi đồ thị vận tốc và trục thời gian
Trên đoạn AB chia làm 2 phần :
$S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{0}+v_{A1}) . (4-0) = ½ (4+0) .4 =8 m$
$S_{xanh}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{A1}+v_{B}) . (8-4) = ½ (0-4) .4 = - 8 m$
Trên đoạn BC :
$S_{cam}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{B}+v_{C}) . (12-8) = ½ (-4-4) .4 = - 16 m$
Trên đoạn CD :
$S_{xanh}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{C}+v_{D}) . (16-12) = ½ (-4+0) .4 = - 8 m$
Trên đoạn DE :
$S_{tím}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{D}+v_{E}) . (20-16) = ½ (0+0) .4 = 0 m$
Trên đoạn EF :
$S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{E}+v_{F}) . (24-20) = ½ (0+4) .4 = 8 m$
Trên đoạn FG :
$S_{tím}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{F}+v_{G}) . (30-24) = ½ (4+4) .6 = 24 m$
Bây giờ chúng ta sẽ tìm dịch chuyển tại các thời điểm tương ứng
Tại $t = 0 s$ ta có $S(0)=0 m$
Tại $t = 4 s$ ta có $S(4) = 0 + 8 = 8m$
Tại $t = 8 s$ ta có $S(8) = 8 + (-8) = 0m$
Tại $t = 12 s$ ta có $S(12) = 0 +(-16) = -16m$
Tại $t = 16 s$ ta có $S(16) = -16 + (-8) = -24m$
Tại $t = 20 s$ ta có $S(20) = -24 + 0 = -24m$
Tại $t = 24 s$ ta có $S(24) = -24 + 8 = -16m$
Tại $t = 30 s$ ta có $S(30) = -16 + 24 = 8m$
Dùng Curve Expert vẽ data và điều hóa các số liệu này bằng hàm đa thức
Các thông tin về hàm điều hóa dịch chuyển như sau :
Hàm dịch chuyển $S(t) = ex^4+dx^3+cx^2+bx+a$ trong đó
a =-0.011160252
b =5.5948229
c =-1.0696324
d =0.049756811
e =-0.00066750698
Standard Error: 1.0659778
Correlation Coefficient: 0.9986675
Comments:
Linear regression completed successfully. No weighting used.
VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC .
1.1.6 Vật thể rơi
Gia tốc do trọng lực
Trong phần 1.1.4 và 1.1.5 trước đây chúng ta đã tìm hiểu về gia tốc đồng thời đưa ra các phương trình chuyển động đều . Một trường hợp đáng lưu ý trong chuyển động có gia tốc là hiện tượng rơi tự do .
Bạn hãy khảo sát một đối tượng mang gia tốc bằng một thí nghiệm sau .
Nhặt một vật gì đó : viên sỏi hay quả bóng tròn với bàn tay của bạn và thả nó xuống đất. Khi thả vật này từ bàn tay của bạn, tốc độ ban đầu của nó là 0. Trên đường rơi xuống tốc độ của nó tăng dần lên . Thời gian rơi càng rơi lâu tốc độ của vật càng nhanh hơn . Điều này chỉ cho ta thấy vật thể rơi có gia tốc .
Nhưng gia tốc thì nhiều ý nghĩa hơn là chỉ có tăng tốc độ . Hãy giữ cùng vật thể này trong tay và tung nó lên theo chiều thẳng đứng vào không trung . Trên đường tung lên tốc độ của vật sẽ giảm dần cho đến khi nó dừng lại và đảo ngược hướng. Tốc độ khi giảm dần đi cũng được coi là có gia tốc.
Nhưng gia tốc thì cũng đã như nói ở phần trên , nó mang nhiều ý nghĩa hơn là chỉ có giảm tốc độ . Chúng ta sẽ xét đến hiện tượng vật thể của bạn được ném theo chiều ngang và để ý xem vận tốc ngang của nó dần dần trở thành vận tốc dọc. Vì gia tốc là mức độ thay đổi của vận tốc theo thời gian và vận tốc là một đại lượng vector nên sự thay đổi theo hướng này cũng được coi là gia tốc.
Trong mỗi ví dụ đã xét đến ở trên gia tốc đều là kết quả của lực hấp dẫn. Vật thể của bạn đã có gia tốc bởi vì lực hấp dẫn đã kéo nó xuống đất . Ngay cả các đối tượng khi được tung lên cũng sẽ rơi xuống - và nó bắt đầu rơi vào phút nó rời khỏi bàn tay của bạn . Đây là gia tốc do trọng lực - còn gọi là gia tốc trọng trường ( được ký hiệu bằng chữ g - nghiêng) .
Nhưng các yếu tố nào ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường ? Nếu bạn đưa ra câu hỏi này cho một người tiêu biểu nào đó , họ rất có thể sẽ nói là "trọng lượng" bởi đó thực sự có nghĩa là "khối lượng" ( chúng ta sẽ bàn nhiều hơn về điều này sau) . Rất dễ lập luận rằng : các vật nặng rơi nhanh và các đối tượng nhẹ rơi chậm hơn . Mặc dù điều này có vẻ đúng khi kiểm tra lần đầu tiên, nhưng nó vẫn không trả lời được câu hỏi . "Các yếu tố nào ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường ? " Khối lượng không ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường theo bất kỳ cách đo lường khả dĩ nào . Hai đại lượng này độc lập với nhau.
Vật thể nhẹ tăng tốc chậm hơn so với các vật nặng chỉ khi có các lực khác cùng tác động với trọng lực . Khi điều này xảy ra, một đối tượng có thể rơi xuống, nhưng nó không phải là rơi tự do. Sự rơi tự do xảy ra bất cứ khi nào một đối tượng chỉ duy nhất chịu tác động của trọng lực .
Các thí nghiệm về sự rơi tự do
Hãy quay về quá khứ một chút. Trong thế giới phương Tây trước thế kỷ XVI, người ta thường cho rằng gia tốc của một vật thể rơi sẽ tỉ lệ với khối lượng của nó - Ví dụ một đối tượng nặng 10 kg đã được dự kiến rằng sẽ tăng tốc nhanh hơn mười lần so với một đối tượng nặng 1 kg . Triết gia Hy Lạp cổ đại Aristotle (384-322 TCN), cũng đã đưa ra quy tắc này trong những gì ông đã viết có lẽ là cuốn sách đầu tiên về cơ học . Đó là một công trình vô cùng phổ biến trong số các học giả và trải qua nhiều thế kỷ nó đã được xem là những lý luận kinh điển .
Giáo điều vật lý này của Aristotle cuối cùng đã được nhà khoa học Ý Galileo Galilei (1564-1642) đưa ra thử nghiệm. Không giống như mọi nhà vật lý thời điểm đó, Galileo đã thực sự cố gắng để xác minh lý thuyết của riêng mình thông qua thực nghiệm và quan sát một cách cẩn thận. Sau đó, ông kết hợp kết quả của các thí nghiệm với phân tích toán học theo một phương pháp được xem là hoàn toàn mới mẻ vào thời điểm đó, nhưng bây giờ được công nhận là cách thức thực hiện nghiên cứu khoa học . Chỉ riêng đối với việc phát minh ra phương pháp này, Galileo nói chung được coi là nhà khoa học đầu tiên trên thế giới.
Trong thí nghiệm về sự rơi , Galileo thả hai vật có khối lượng khác nhau từ Tháp nghiêng Pisa. Hoàn toàn trái ngược với những lời dạy của Aristotle trước kia , hai vật thể này đều chạm mặt đất hầu như cùng một lúc. Với tốc độ mà tại đó sự rơi như vậy xảy ra, chúng ta có thể nghi ngờ rằng Galileo làm sao đã có thể trích ra được nhiều thông tin từ thí nghiệm này. Thực ra hầu hết các quan sát của ông về vật rơi là hiện tượng các vật thể lăn xuống dốc. Sự lăn theo một độ dốc đó đã được làm chậm xuống đến thời điểm mà Galileo có thể đo khoảng thời gian bằng đồng hồ nước và mạch tim của mình . Thí nghiệm này được thực hiện lặp đi lặp lại rất nhiều lần cho đến khi đạt đến , theo ông viết , " mức chính xác khá chuẩn mà độ lệch giữa hai quan sát không bao giờ vượt quá một phần mười của một nhịp tim " .
Với kết quả như vậy, chắc bạn nghĩ rằng các trường đại học của châu Âu sẽ ban cho Galileo vinh dự cao nhất của họ, nhưng tiếc thay trường hợp đó đã không xẩy ra . Các giáo sư lúc ấy thật sự kinh hoàng với các kết quả thu được bằng các phương pháp tương đối thô sơ của Galileo , thậm chí còn đi xa hơn vậy họ từ chối thừa nhận rằng có ai đó có thể nhìn thấy thí nghiệm này bằng mắt của mình.
Trong một động thái mà bất kỳ người nào có tư duy cũng sẽ tìm thấy những sự vô lý trong giáo điều Aristotle , nhưng phương pháp của Galileo kiểm soát các quan sát thực nghiệm lúc ấy lại được xem là thấp hơn lý trí thuần túy. Hãy tưởng tượng rằng ở vào thời kỳ đó như sau : Nếu bạn có thể nói rằng chim đại bàng sống dưới đáy đại dương và miễn là bạn đã trình bày một luận cứ tốt hơn so với bất kỳ người nào , nó sẽ được chấp nhận như một thực tế trái ngược với những quan sát của hầu hết mọi người sáng mắt khác trên hành tinh này ! Lý luận kinh điển thuần túy của Aristotle đã chà đạp trên quan sát thực nghiệm của Galileo .
Galileo gọi tên phương pháp của mình là "mới" và đã viết cuốn sách " Bài giảng về Hai khoa học mới " trong đó ông đã sử dụng sự kết hợp của các quan sát thực nghiệm và lý luận toán học để giải thích những các hiện tượng vật lý như chuyển động một chiều với gia tốc hằng , gia tốc trọng trường, đặc trưng của vật phóng , tốc độ ánh sáng, bản chất vô cùng, tính chất vật lý của âm nhạc, và sức bền vật liệu.
Từ những kết quả thực nghiệm về sự rơi , Galileo đưa ra kết luận của ông về gia tốc do trọng lực rằng : " ... trong một môi trường hoàn toàn không có sức đề kháng của vật thể tất cả sẽ rơi với cùng một tốc độ ". Đó là một phát biểu rất quan trọng trong nghiên cứu sự rơi tự do và cũng là sự mở đầu cho vật lý thực nghiệm hậu Galileo vẫn còn nguyên giá trị cho khoa học đương đại .
Tiếp sau sự kiện này nhà khoa học người Anh Issac Newton (1642- 1727) đầu tiên nghiên cứu sự rơi và ảnh hưởng của không khí lên các vật thể rơi . Trong thí nghiệm Newton dùng một ống thuỷ tinh kín trong có chứa hòn bi chì và một cái lông chim . Khi trong ống chứa không khí thì viên bi rơi nhanh hơn cái lông chim. Nhưng khi hút hết không khí trong ống ra, hai vật trên lại rơi nhanh như nhau.
Hình dưới đây mô tả thí nghiệm Newton về sự rơi trong chân không .
Từ các thí nghiệm của Galileo và Newton chúng ta có thể đưa ra kết luận về sự rơi tự do như sau :
-Nếu loại bỏ được ảnh hưởng của không khí và của các tác nhân khác ( như điện trường , từ trường , sóng bức xạ ... ) thì mọi vật rơi nhanh như nhau. Sự rơi của các vật trong trường hợp này gọi là sự rơi tự do.
Các thí nghiệm này được lặp lại trên mặt trăng bởi các phi hành gia Apollo 15 với hai vật thể rơi là cái lông chim và chiếc búa - được ghi lại trong videoclip dưới đây .
Giá trị của gia tốc trọng trường
Galileo tiến hành nhiều phép đo liên quan đến gia tốc trọng trường nhưng chưa một lần tính toán giá trị của nó (hoặc nếu ông đã làm thì chúng ta cũng vẫn chưa bao giờ nhìn thấy số liệu đó được công bố trong bất cứ báo cáo nào ). Thay vào đó, ông tuyên bố phát hiện của mình như là một tập hợp các mối quan hệ tỷ lệ và hình học . Mô tả của ông về tốc độ không đổi cần đến một định nghĩa, bốn tiên đề, và sáu định lý . Tất cả những mối quan hệ có thể được viết như là phương trình duy nhất $ \bar{v} = Δ s / Δ t $ theo ký hiệu hiện đại. Các ký hiệu có thể chứa nhiều thông tin như một số câu trong văn bản khi nó tạo thành một mệnh đề toán học , đó là lý do tại sao chúng được sử dụng rộng rãi để mô tả hiện tượng tự nhiên .
Gia tốc do trọng lực g là gia tốc thực nghiệm của một đối tượng trong trạng rơi tự do trên bề mặt của Trái đất với giả thiết ma sát không khí có thể được bỏ qua. Nó có giá trị xấp xỉ $ 9.80 m / s^2$ , mặc dù số liệu này có thể thay đổi theo độ cao và vị trí. Có nhiều cách để xác định giá trị của gia tốc trọng trường g .
1. Giá trị của g có thể thu được từ lý thuyết bằng cách áp dụng định luật vạn vật hấp dẫn của Newton để tìm lực giữa Trái đất và một đối tượng ở bề mặt của nó , được phát biểu như sau
$F=G.\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^2}$
Trong đó $m_{1},m_{2}$ là khối lượng của 2 vật thể , $r_{12}$ là khoảng cách nối tâm giữa 2 vật thể , $G$ là hằng số hấp dẫn vũ trụ có giá trị $6.673 × 10^{-11} Nm^2 / kg^2$
Nếu $m_{1},m_{2}$ tương ứng là khối lượng của trái đất và vật thể trên mặt đất , $r_{12}$ là bán kính trái đất , $m_{1}=5.97219×10^{24}$ (kg) , $r_{12} = 6.37.10^{6}$ (m)
khi đó lực hấp dẫn
$F=m_{2}[G.\frac{m_{1}}{r_{12}^2}]= m_{2}.g$
Ta thu được $g = G.\frac{m_{1}}{r_{12}^2} \approx 9.80665$
Đơn vị của gia tốc trọng trường g là $m/s^2$ , tuy nhiên trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng các đơn vị khác như Gal $(cm/s^2)$ , $ft/s^2$ .
2. Giá trị của g có thể thu được từ lý thuyết bằng cách áp dụng phương trình chuyển động thứ hai và lập bảng thống kê kết quả thực nghiệm
Từ $x(t) = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$ với $t_{0} = 0$ thì $\Delta t = t-0 =t$
Khi đó $x(t) = x_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
Tại thời điểm $t=0$ thì $x_{0}=0 , v_{0}=0$ , đặt $a = -g$ và thay vào phương trình trên ta có
$h-1/2.gt^2=0$ hay $g=2h/t^2$
Bằng cách chụp ảnh hoạt nghiệm người ta có thể ghi lại hiện tượng rơi của vật thể dưới tác dụng trọng lực và tính toán giá trị của gia tốc trọng trường g . Phương pháp chụp ảnh hoạt nghiệm được mô tả trong clip dưới đây
*Mô tả phương pháp .
Thả rơi một viên bi trắng trước một bảng đen có vạch đặt thẳng đứng trong một phòng tối có gắn máy ảnh chụp lại các vị trí của bi trong suốt thời gian rơi. Với những khoảng thời gian bằng nhau , máy ảnh sẽ chụp lại ảnh viên bi được chiếu sáng và ghi lại vị trí trên bảng đen .
*Kết quả thực nghiệm .
Máy chụp thu được ảnh của viên bi trắng ở những vị trí tương ứng với những khoảng thời gian bằng nhau , từ đó ta có được số liệu về khoảng cách rơi và tính được giá trị của gia tốc trọng trường g ( xem hình động)
Như đã trình bày ở trên , $g=2h/t^2$ nên giá trị tương đối của g là $9.8m/s^2$ . Các bạn có thể tham khảo bảng số liệu thời gian , vận tốc và khoảng cách rơi trích từ nguồn http://www.engineeringtoolbox.com/accelaration-gravity-d_340.html
Với các số liệu trong bảng này giá trị của gia tốc trọng trường $g = 9,8 m / s^2$ hoặc trong các đơn vị khác SI là $g = 35.3 kph / s = 21.9 mph / s = 32.2 feet / s^2$
Cũng cần lưu ý rằng ngay cả trên trái đất , giá trị g này thay đổi theo vĩ độ và độ cao (sẽ được thảo luận trong chương sau). Gia tốc do trọng lực ở các địa cực thì lớn hơn ở xích đạo và ở mực nước biển thì lớn hơn trên đỉnh núi Everest . Ngoài ra cũng có những sự thay đổi về giá trị g địa phương phụ thuộc vào địa chất , $g = 9.8 m / s^2$ chỉ đơn thuần là một giá trị trung bình thuận tiện cho việc tính toán trên toàn bộ bề mặt của trái đất. Giá trị này cũng chính xác ( đến hai chữ số ) đáng kể ở độ cao mà tại đó các máy bay thương mại thường bay qua ( khoảng 18 km, 29.000 feet, hoặc 5.5 dặm).
Để tìm giá trị của gia tốc trọng trường ở một vị trí trên trái đất người ta thường dùng công thức sau
$g=g_{45}-1/2.(g_{cực}-g_{xích đạo}).cos(2 \pi.\lambda /180)$
Trong đó
$g_{45}= 9.806 m (32.17 ft) / s^2$
$g_{cực}= 9.832 m (32.26 ft) / s^2$
$g_{xích đạo}= 9.780 m (32.09 ft) / s^2$
$\lambda$ là vĩ độ , giữa −90 và 90 độ
Bảng sau cho biết các giá trị gia tốc trọng trường đo được ở một số địa điểm . Để tìm các giá trị g ở vị trí khác nhau ta có thể sử dụng widget trực tuyến WA dưới đây . Nhập tên thành phố , tên quốc gia vào ô Location và nhấn ' Get g '
Các phương trình động học của sự rơi tự do
Từ ba phương trình chuyển động một chiều , gia tốc hằng ( xem 1.1.5 ) , chúng ta dễ dàng thu được các phương trình động học của sự rơi tự do với các tham số : vận tốc đầu $u=v_{0}$ , gia tốc $a=g$ , độ cao của vật rơi $x=h$ , thời gian rơi t .
1. Với phương trình thứ nhất rút gọn :
$v= v_{0}+a. t$ hay $v= u +a. t$ với $u=v_{0}$
Trong trạng thái rơi tự do $u=v_{0}=0,a=g$ nên $v=g.t$
2. Với phương trình thứ hai rút gọn
Nếu $t_{0}=0 , x_{0}=0 $ và $u=v_{0}$
$x = u. t + ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc sau v )
$x = (u+v).t /2$
Trong trạng thái rơi tự do $u=v_{0}=0,a=g,x=h$ , nên $h = ½ .g. t^2.$
3. Với phương trình thứ ba rút gọn
Nếu $t_{0}=0 , x_{0}=0 $ và $u=v_{0}$
$2.a.x = v^2 - u^2$
hay $v^2 = u^2 + 2.a.x$
Trong trạng thái rơi tự do $u=v_{0}=0,a=g,x=h$ nên $v^2 = 2.g.h$
Ảnh động dưới đây mô tả sự rơi tự do với những tính chất như sau :
(i) Sự rơi tự do là hiện tượng rơi theo phương thẳng đứng từ trên xuống dưới chỉ dưới tác dụng của trọng lực, và chuyển động rơi tự do là chuyển động thẳng nhanh dần đều .
(ii) Sự rơi của vật thể là sự rơi tự do khi bỏ qua ảnh hưởng của không khí và các yếu tố khác lên vật thể rơi .
(iii) Mọi vật thể đều rơi tự do có cùng gia tốc trọng trường g ở một vị trí nhất định , gia tốc g có các giá trị khác nhau tại các vị trí khác nhau trên trái đất .
(iv) Để thuận tiện cho việc tính toán các giá trị phổ thông là $g = 9,8m/s^2$ hoặc $g = 10m/s^2$ .
Cũng cần lưu ý rằng không nên nhầm lẫn giữa hiện tượng gia tốc do trọng lực g (in nghiêng) với các đơn vị có cùng tên g . Trong khi đại lượng gia tốc trọng trường g (in nghiêng) có một giá trị phụ thuộc vào vị trí và xấp xỉ $9.8 m / s^2$ trên trái đất, thì lực hấp dẫn đơn vị có giá trị xác định là g =$ 9,80665 m / s^2$
Bạn cũng có thể nhận thấy cách sử dụng các ký hiệu hơi khác nhau. Các đơn vị được viết g thẳng đứng trong khi các hiện tượng tự nhiên viết g in nghiêng . Đừng nhầm lẫn giữa g với g .
Các đơn vị g thường được sử dụng để đo lường sự thay đổi gia tốc của một hệ quy chiếu . Những hoạt động bình thường trong thế giới 1 g - mặc định là thế giới mà chúng ta đang quen với tất cả các hiện tượng vật lý thông thường . Nhưng giả sử như chúng ta đang làm việc trên một tàu lượn , trong một thang máy hoặc trong phòng thí nghiệm chân không đang hoạt động , thì những cảm giác quen với trọng lực trái đất bình thường sẽ thay đổi . Có lúc chúng ta cảm thấy nặng hơn và có khi lại nhẹ hơn so với bình thường. Những trạng thái đó tương ứng với các giai đoạn trọng lực lớn hơn 1 g và nhỏ hơn 1 g .
Câu hỏi .
1. Một viên gạch rơi từ trên cao . Tìm tốc độ và khoảng cách rơi của nó sau 5 giây?
Thời gian rơi t = 5 s
gia tốc trọng trường $g = 9.8 m / s^2$
Áp dụng phương trình thứ nhất .
Vận tốc của viên gạch $ v = gt = (9.8 m / s^2 ) (5 s) = 49 m / s$
Khoảng cách rơi được cho bởi $h =1/2.gt^2 =12 ×9.8 m / s^2 ×(5 s)^2 = 122.5 m$
2. Một quả bóng được ném từ một tòa nhà cao 100 m. Tìm thời gian để bóng rơi xuống đất?
Khoảng cách rơi $h= 100 m$
vận tốc ban đầu $u= 0m/s$
gia tốc trọng trường $g = 9.8 m / s^2$
Áp dụng phương trình thứ hai .
Khoảng cách rơi $h =1/2.g.t^2$
Thay các giá trị vào $100 =1/2.(9.8).t^2$ Ta có thời gian $t = \sqrt{200/9.8}= 4.51 s$ .
3. Một viên bi rơi được 100 m trong 2 giây cuối cùng trước khi chạm đất. Tính độ cao của viên bi lúc bắt đầu rơi ? ( Cho $g=10m/s^2$ )
Khoảng thời gian rơi cuối cùng t = 2 s
gia tốc trọng trường $g = 10 m / s^2$
Gọi $h , h_{cuối}$ là khoảng cách rơi của viên bi lúc bắt đầu và trong 1 giây cuối cùng
Áp dụng phương trình thứ hai .
$h=1/2. gt^2$ và $h_{cuối}=1/2. g(t-2)^2$
Ta có khoảng cách rơi trong 2 giây cuối cùng : $1/2. gt^2 - 1/2. g(t-2)^2=50$
Hay $1/2.g.[t^2-(t-2)^2] = g(2t - 2) = 100$
Giải phương trình này ta có $\Leftrightarrow 2t-2=10 \Leftrightarrow t=6s$
Khi đó $h=1/2. gt^2=1/2.(10 m/s^2).(6s)^2 = 180m$
4. Một quả banh bóng rổ rơi từ độ cao 1.0m xuống sàn và nẩy lên ở 0.67m . Giả sử rằng quả bóng không di chuyển theo hướng ngang . Hãy tính vận tốc của bóng
a. chạm sàn khi rơi xuống lần thứ nhất .
b. bật lên khỏi sàn sau khi rơi xuống lần thứ nhất .
c. nếu thời gian rơi chạm sàn lần thứ nhất là 0.1s , tính gia tốc của bóng khi nẩy lên .
a.
Khoảng cách rơi $h= 1 m$
vận tốc ban đầu $u= 0m/s$
vận tốc lúc sau $v=v_{xuống}$
gia tốc trọng trường $g = 9.8 m / s^2$
Áp dụng phương trình thứ ba cho chiều rơi xuống
$v_{xuống}^2 = 2.g.h$ với $h=1 m , g=9.8 m/s^2$ ta có $v_{xuống}^2 = 2.(9.8).1$
nên $v_{xuống}=4.43 m/s$ rơi xuống (+)
b.
Khoảng cách nẩy lên $h=0.67 m$
vận tốc ban đầu $u= v_{lên} m/s$
vận tốc lúc sau $v = 0 m/s$
Áp dụng phương trình thứ ba cho chiều nẩy lên
$v_{lên}^2 = - 2.g.h$ với $h=0.67 m , g= - 9.8 m/s^2$ ta có $v_{lên}^2 = -2.(-9.8).(0.67)$
nên $v_{lên}=3.62 m/s$ nẩy lên (-)
c.
Thời gian rơi chạm sàn $t = 0.1 s$
Gia tốc $\bar{a}_ = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-3.62-4.43}{0.1} = - 80.5 m/s^2$ nẩy lên .
5. Một nữ vận động viên nhẩy cầu bật lên ở độ cao sàn 3m với vận tốc ban đầu là 5.5 m/s . Hãy tính
a. Khoảng cách cao nhất mà vận động viên đạt được .
b. Thời gian vận động viên trong không trung .
c. Vận tốc của vận động viên này khi chạm nước .
a.
vận tốc ban đầu $u = v_{lên}= 5.5m/s$ (-)
vận tốc lúc sau $v=0 m/s $
Gia tốc trọng trường $a = -g = -9.8 m/s^2$
Áp dụng phương trình thứ ba cho chiều nẩy lên
$v_{lên}^2 = - 2.g.h $ hay $h = v_{lên}^2/(-2 g ) = 5.5^2/(2×9.8) = 1.54m $
Khoảng cách cao nhất mà vận động viên đạt được : 3.0m + 1.54m = 4.54 m
b.
Áp dụng phương trình thứ hai .
$h_{lên}=-1/2. gt^2$ với $h_{lên}= 1.54m = - 1/2 × (-9.8) . t^2 $ nên
$t^2 = \sqrt {2×1.54/ 9.8} =\sqrt{ 0.31} = 0.56s $
Khi rơi xuống
$h_{xuống}=1/2. gt^2$ với $h_{xuống}= 4.54m = 1/2 × (9.8) . t^2 $ nên
$t^2 = \sqrt {2×4.54/ 9.8} =\sqrt{ 0.93} = 0.96s $
Thời gian vận động viên trong không trung : 0.56s + 0.96s = 1.52s
c.
vận tốc ban đầu $u= 0m/s$
vận tốc lúc sau $v=v_{xuống}$
gia tốc trọng trường $g = 9.8 m / s^2$
Khoảng cách rơi : $h = 4.54m$
Áp dụng phương trình thứ ba cho chiều rơi xuống
$v_{xuống}^2 = 2.g.h = 2 × 9.8 ×4.54 = 88.98$ vậy $v_{xuống} = \sqrt{88.98}= 9.43 m/s$
Bài tập B24.Tích phân học toán 12.docx
-
Để có thêm nguồn tư liệu cho HS học tập thi HK 2023 MÔN TOÁN, ÔN TẬP TRONG
LÚC HỌC TOÁN TRONG LỚP, EBOOKTOAN SƯU TẬP CÁC FILE TOÁN DOCX ĐỂ PHỤC VỤ CÁC
TH...
The Orbit of Kepler 16b
-
[image: The Orbit of Kepler 16b]NASA's Kepler space telescope recently made
the news by finding a planet that orbits a double-star system, a situation
that...
The Day in Photos – November 5, 2019
-
[image: Hindu women worship the Sun god in the polluted waters of the river
Yamuna during the Hindu religious festival of Chatth Puja in New Delhi,
India, ...
Phát hiện mới về chủng loài .
-
*CÁC KHOA HỌC GIA PHÁT HIỆN 229 LOÀI MỚI TRONG NĂM 2018 .*
Một con ếch sống -ở -suối mới tìm thấy từ Philippines. Calacademy
Năm 2018, các nhà nghiê...
Find All Wolfram News in One Place—The Wolfram Blog
-
This is the final post here at the Wolfram|Alpha Blog. Approximately six
and a half years ago our launch team started the Wolfram|Alpha blog just
prior to ...
wxMaxima 0.8.5
-
I have released wxMaxima version 0.8.5. There are no major changes in this
release. One of the cool things added are two new translations (Greek an
Japanes...
COMSOL Expands Presence in India
-
The COMSOL Group, developer of COMSOL Multiphysics®, today announced the
opening of a full-service office in Bangalore, India. The India office will
market...
